平均・中央値・最頻値

統計学の復習　第2章 §2.1　★★ 3つの代表値の定義と、度数分布表からの計算

この章は、2級の対策本の第3章（さまざまな代表値）と第5章（分散と標準偏差）に当たる。

データ $x_1,\dots,x_n$ を数1つで要約する方法には、中心の位置を表す代表値と、中心のまわりの広がりを表す散らばりの指標の2種類がある。2級ではそれぞれの公式に数値を代入できれば得点になるが、1級の記述式では「なぜその式なのか」を問われる。そこでこの章では、平均・中央値・最頻値の3つを「データとのずれの測り方を決めたときに、ずれの合計を最小にする点」として統一的に導き直す。平均は2乗のずれの和を、中央値は絶対値のずれの和を、最頻値は一致しない個数を最小にする。この見方は、1級で推定量の良さを損失とリスクで測る枠組み（数理統計の解説 第10章 §10.1）の最も簡単な場合に当たる。

散らばりの指標では、偏差平方和 $S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2$ を中心に置き、$n$ で割る分散と $n-1$ で割る不偏分散を最初から別の記号で書き分ける。2つの割り方の混同は、この先の区間推定・検定・回帰のすべてで計算違いの原因になるからである。あわせて、2群を合わせたときの分散が「群内の分散の平均」と「群平均の散らばり」の和に分かれることを示す。これは分散分析（第15章）の平方和の分解の、最も小さな形である。

平均は、データの値をすべて足して個数で割った量である。偏差の和について、次の性質が成り立つ。

証明

$\sum_i(x_i-\bar x)=\sum_i x_i-n\bar x=n\bar x-n\bar x=0$。

この等式は、$\bar x$ がデータの「重心」になっていることを表す。数直線上の点 $x_i$ に等しい重りを置くと、$\bar x$ を支点にして左右の力のモーメントがつり合う。§2.5 では、この1本の等式があるために、偏差 $x_i-\bar x$ の $n$ 個のうち自由に動けるものが $n-1$ 個しかないことを使う。

データを1次式で変換したときの代表値の変化も確かめておく。$y_i=ax_i+b$ とおくと

$$\bar y=\frac1n\sum_i(ax_i+b)=a\bar x+b\tag{2.1}$$

である。中央値は、$a>0$ なら並び順が変わらないので $\tilde y=a\tilde x+b$、$a<0$ なら並び順が逆転するが、真ん中の位置は真ん中のままなので、やはり $\tilde y=a\tilde x+b$ になる。最頻値も、値の対応が1対1なので同じ変換を受ける。単位を cm から m に変える、基準点をずらすといった操作では、3つの代表値は同じように変換される。

度数分布表からの計算

データが度数分布表でしか与えられないときは、各階級に入るデータをすべて階級値 $c_k$（階級の中央の値）に等しいとみなす。階級が $K$ 個、各階級の度数が $f_k$（$\sum_k f_k=n$）なら

$$\bar x\approx\frac1n\sum_{k=1}^K f_k c_k\tag{2.2}$$

である。これは階級値を度数で重み付けした加重平均になっている。階級の幅を $h$ とすると、各データと階級値のずれは $h/2$ 以下なので、真の平均と (2.2) の差も $h/2$ 以下に収まる（確認テスト 2.1-3）。

中央値は、累積度数が $n/2$ を超える階級を探し、その階級の中ではデータが一様に散らばっていると仮定して線形補間する。その階級の下端を $L$、その階級より前までの累積度数を $F$、その階級の度数を $f$ とすると

$$\tilde x\approx L+\frac{n/2-F}{f}\,h\tag{2.3}$$

となる。分子 $n/2-F$ は「その階級の中で、あと何個進めば真ん中の順位に達するか」を表し、それを階級の度数 $f$ で割ると階級の中での位置の割合になる。

確認テスト

オリジナル

1. 2.1-1 データ $3,9,4,12,7,5$ の平均と中央値を求めよ。
2. 2.1-2 データ $x_1,\dots,x_n$ の平均が $50$ のとき、各データを1.1倍して3を加えた $y_i=1.1x_i+3$ の平均を求めよ。また、$y_i$ の偏差の和 $\sum_i(y_i-\bar y)$ が0になることを、命題 2.2 を使わずに直接計算して確かめよ。
3. 2.1-3 階級の幅が $h$ の度数分布表で、各データ $x_i$ をその階級の階級値 $c(x_i)$ に置き換えて求めた平均を $\bar x_{\mathrm g}=\frac1n\sum_i c(x_i)$ とする。$\lvert \bar x-\bar x_{\mathrm g}\rvert \le h/2$ を示せ。
4. 2.1-4 あるクラス30人の平均点が62点、別のクラス20人の平均点が70点である。2クラスを合わせた50人の平均点を求めよ。また、2クラスの平均点の単純な平均 $66$ 点と一致しない理由を一言で述べよ。