平均・中央値・最頻値の使い方

統計学の復習　第2章 §2.3　★★ 尺度によって使える代表値が決まり、外れ値への強さで使い分ける

どの代表値を使うかは、データの尺度（第1章）と、外れ値への強さの2点で決める。

尺度と代表値

名義尺度（血液型・出身地）は値に順序も大きさも無いので、意味を持つのは「どの値が最も多いか」だけで、使える代表値は最頻値に限られる。順序尺度（満足度の5段階・順位）は順序だけが意味を持つので、並べて真ん中をとる中央値と最頻値が使える。間隔尺度（摂氏温度）と比尺度（長さ・重さ）は差が意味を持つので、値を足して割る平均まで使える。

順序尺度で平均を使ってはいけない理由は、次の命題で説明できる。

順序尺度の「1〜5」という数字は、順序を保つ限りどのように付け替えてもよい便宜上のラベルである。ラベルを付け替えても中央値の比較の結論は変わらないが、平均の比較は付け替え方によって逆転しうる。次の例題で実際に確かめる。

外れ値への強さ

データの1つ $x_j$ を $x_j+\Delta$ に変えると、平均は $\Delta/n$ だけ動く。$\Delta$ をいくらでも大きくできるので、データ1つの誤記で平均はいくらでも大きくなる。一方、中央値は、変えたデータが真ん中を越えて反対側へ移らない限り変わらず、越えた場合でも隣の順位の値に移るだけである。この性質を、データの何割を任意の値に置き換えると代表値をいくらでも大きくできるかという割合（破綻点）で比べると、平均は $1/n$、中央値はおよそ $1/2$ である。所得や住宅価格のように少数の極端な値を含むデータでは、この差があるので中央値を使う。

平均と中央値の中間として、両端の一定割合を除いてから平均をとるトリム平均（刈り込み平均）がある。上下 $k$ 個ずつ除けば、$k$ 個までの外れ値の影響を受けない。

確認テスト

オリジナル

1. 2.3-1 次の4つの変数について、平均・中央値・最頻値のうち意味を持つものをすべて挙げよ。(a) 血液型、(b) マラソンの着順、(c) 摂氏の気温、(d) 体重。
2. 2.3-2 データ $1,2,6$ と $g(x)=x^2$ について、$y_i=g(x_i)$ の中央値と平均を求め、中央値については $g(\tilde x)$ と一致し、平均については $g(\bar x)$ と一致しないことを確かめよ。
3. 2.3-3 9人の月収（万円）が $18,20,21,22,24,25,27,30,33$ である。平均と中央値を求めよ。次に、最大の $33$ が入力の誤りで $330$ になったとき、平均と中央値はそれぞれいくらになるか。
4. 2.3-4 データ $3,5,6,6,7,8,8,9,10,48$ について、平均・中央値と、上下1個ずつを除いたトリム平均を求めよ。