いろいろな平均

統計学の復習　第2章 §2.4　★★ 成長率には幾何平均、速さと単価には調和平均。平均の取り方は「何を一定にして合計するか」で決まる

算術平均は「値を足し合わせた合計」を保つ平均である。データの値を全部 $\bar x$ に置き換えても、合計 $n\bar x$ は変わらない。ところが、合計でなく積を保ちたい量や、逆数の合計を保ちたい量もある。そのときは別の平均を使う。

幾何平均は「全部を $G$ に置き換えても積が変わらない値」、調和平均は「全部を $H$ に置き換えても逆数の和が変わらない値」である。$\log G=\frac1n\sum_i\log x_i$ なので、幾何平均は対数をとってから算術平均し、もとに戻したものでもある。

成長率と幾何平均

ある量が $t$ 年目に $r_t$ の率で増える（減るときは $r_t<0$）とすると、$T$ 年後の量はもとの $\prod_{t=1}^T(1+r_t)$ 倍になる。毎年同じ率 $\bar r$ で増えて同じ結果になるには $(1+\bar r)^T=\prod_t(1+r_t)$ が必要なので

$$1+\bar r=\Bigl(\prod_{t=1}^T(1+r_t)\Bigr)^{1/T},\qquad \bar r=G-1\tag{2.5}$$

となる。年平均成長率は、成長率そのものでなく倍率 $1+r_t$ の幾何平均から1を引いたものである。成長率の算術平均は、倍率を掛け合わせるという計算の構造に合っていない。

速さ・単価と調和平均

同じ距離 $d$ を速さ $v_1,\dots,v_n$ で1回ずつ進むと、全体の距離は $nd$、かかる時間は $\sum_i d/v_i$ なので、全体の平均の速さは

$$\frac{nd}{\sum_i d/v_i}=\frac{n}{\sum_i 1/v_i}=H$$

である。ここで一定なのは各区間の距離で、時間は区間ごとに違う。もし各区間の時間が同じなら、平均の速さは算術平均になる。どちらの平均を使うかは、「何を一定にして合計するか」で決まる。

データが2個 $a,b$ のときは $\bar x=\frac{a+b}2$、$G=\sqrt{ab}$、$H=\frac{2ab}{a+b}$ で、$\bar x\cdot H=ab=G^2$ が成り立つ。幾何平均は算術平均と調和平均の幾何平均になっている。

確認テスト

オリジナル

1. 2.4-1 2つの値 $2,8$ の算術平均・幾何平均・調和平均を求め、$\bar x\cdot H=G^2$ を確かめよ。
2. 2.4-2 ある商品の価格が、1年目に $25\%$ 上がり、2年目に $20\%$ 下がった。2年間の年平均の変化率を求めよ。
3. 2.4-3 $a,b>0$ について $\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$ を、$(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ から示し、等号条件を述べよ。
4. 2.4-4 毎月 12000 円ずつ同じ商品を買う。3か月の単価は順に 100 円・120 円・150 円だった。買った商品1個あたりの平均単価を求め、それが単価の調和平均に等しいことを示せ。単価の算術平均と比べよ。