さまざまな事象

統計学の復習　第3章 §3.2　★★ 事象を集合として扱う。和・積・余事象・排反と de Morgan の法則、要素の個数の包除原理

試行・標本空間・事象

さいころを投げる、袋から玉を取り出す、のように、同じ条件で繰り返すことができて、結果が偶然に左右される操作を試行と呼ぶ。試行の結果として起こりうるもの全体の集合を標本空間と呼び $\Omega$ で表す。$\Omega$ の要素を根元事象と呼び、$\Omega$ の部分集合を事象と呼ぶ。$\Omega$ 自身を全事象、要素を持たない空集合 $\emptyset$ を空事象と呼ぶ。

たとえばさいころを1回投げる試行では $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ で、「偶数の目が出る」という事象は $A=\{2,4,6\}$ である。試行の結果が $\omega$ であったとき、$\omega\in A$ なら「事象 $A$ が起こった」という。事象を言葉でなく集合で書くと、次の演算がそのまま使える。

排反は「2つの事象が同時には起こらない」という意味で、$\Omega$ の部分集合としての関係だけで決まる。確率をどう割り当てるかには関係しない。この点は、§3.3 で確率を入れてはじめて定義される「独立」との違いとして、あとで重要になる。

ベン図

事象どうしの関係は、全体 $\Omega$ を長方形、各事象をその中の円で表したベン図で見ると整理しやすい（図3.1）。2つの事象 $A,B$ があると、$\Omega$ は互いに排反な4つの部分 $A\cap B^c$、$A\cap B$、$A^c\cap B$、$(A\cup B)^c$ に分かれる。2事象の問題は、この4つの部分の大きさ（個数や確率）のうち3つが分かれば残り1つも決まる、という形で解くことが多い。

図 3.1　2事象のベン図。長方形が標本空間 $\Omega$、左の円が $A$、右の円が $B$。$\Omega$ は互いに排反な4つの部分に分かれ、$A\cup B$ は円の内側の3つの部分の和である。

余事象と de Morgan の法則

de Morgan の法則は「少なくとも一方が起こる」の否定が「どちらも起こらない」であることを集合の式で書いたものである。3個以上でも同じで、$(A_1\cup\cdots\cup A_n)^c=A_1^c\cap\cdots\cap A_n^c$ が成り立つ。§3.3 で「少なくとも1つ起こる確率」を余事象で計算するときの根拠はこの式である。

和事象と積事象の要素の個数

有限集合 $A$ の要素の個数を $\#A$ と書く（標本の大きさ $n$ と字を分けるため、$n(A)$ でなくこの記号を使う）。和事象の個数を数えるときは、重なりを二重に数えないことが要点である。

4個以上の集合でも、「1個ずつの和 $-$ 2個の積の和 $+$ 3個の積の和 $-\cdots$」という同じ形が成り立つ。一般の形の証明は帰納法で、数理統計の解説 第1章 §1.1 で確率の包除原理として扱う。2級では3個までで足りる。

確認テスト

オリジナル

1. 3.2-1 さいころを1回投げる。$A$＝「偶数の目」、$B$＝「3の倍数の目」、$C$＝「1の目」とする。$A,B,C$ のうち排反な組をすべて挙げよ。また $A^c\cap B^c$ を要素で書け。
2. 3.2-2 3つの事象について de Morgan の法則 $(A\cup B\cup C)^c=A^c\cap B^c\cap C^c$ を、要素についての議論で示せ。
3. 3.2-3 1から200までの整数のうち、4でも6でも割り切れないものは何個あるか。
4. 3.2-4 例題3.1 と同じ格子で、点 $\mathrm P=(2,1)$ と点 $\mathrm Q=(4,2)$ の少なくとも一方を通る最短経路は何通りあるか。