離散型確率分布と確率関数

統計学の復習　第4章 §4.2　★★ 離散型は値ごとの確率を並べた確率関数で決まる。条件は非負と総和1の2つだけ

確率関数の定義と条件

離散型の確率変数 $X$ のとる値を $x_1,x_2,\dots$ とする。

確率関数は次の2条件を満たす。

$$\text{(i)}\ \ p(x)\ge0\quad(\text{すべての }x),\qquad \text{(ii)}\ \ \sum_{i}p(x_i)=1.\tag{4.1}$$

(i) は確率が負にならないことから、(ii) は事象 $\{X=x_1\},\{X=x_2\},\dots$ が互いに排反で、合わせると $\Omega$ 全体になることから従う。逆に、(i)(ii) を満たす関数 $p$ が与えられれば、それを確率関数にもつ離散型の確率変数を考えることができる。問題で「定数 $c$ を定めよ」と問われたら、(ii) の総和を $c$ の式で書いて $1$ とおけばよい。

値の集合 $A$ に入る確率は、排反な事象の確率の和なので

$$P(X\in A)=\sum_{x_i\in A}p(x_i)\tag{4.2}$$

となる。離散型の分布の計算は、すべてこの和の計算に帰着する。

この分布は §4.6 で、確率関数としては正しいのに期待値が存在しない例としてもう一度使う。

確認テスト

オリジナル

1. 4.2-1 $p(x)=c(5-x)$（$x=1,2,3,4$）が確率関数になるように $c$ を定め、$P(X\le2)$ を求めよ。
2. 4.2-2 $p(k)=c\,3^{-k}$（$k=0,1,2,\dots$）が確率関数になるように $c$ を定め、$P(X\ge2)$ を求めよ。
3. 4.2-3 $p(k)=(1/2)^k$（$k=1,2,\dots$）のとき、$P(X\text{ が奇数})$ と $P(X\ge k)$ を求めよ。
4. 4.2-4 値 $x=-1,0,1,2$ に対して $p(x)=cx$ と定めた関数は、どのような定数 $c$ を選んでも確率関数にならないことを示せ。