連続型確率分布と確率密度関数

統計学の復習　第4章 §4.3　★★★ 密度 $f(x)$ は確率ではなく、区間で積分して初めて確率になる。$f(x)$ は1を超えてよい

1点の確率から区間の確率へ

電球の寿命 $X$ が「ちょうど $1000$ 時間」になる確率を考える。$1000.0$ 時間と $1000.00001$ 時間を区別するなら、ちょうど1点に一致する確率は $0$ とみるほかない。連続的な量では、1点ごとの確率を並べる確率関数の方法が使えない。そこで、区間 $(x,\,x+h]$ に入る確率を区間の幅 $h$ で割り、幅を小さくした極限

$$f(x)=\lim_{h\to0}\frac{P(x<X\le x+h)}{h}$$

を考える。これは「$x$ の近くの単位長さあたりにどれだけ確率が集まっているか」を表す量で、確率の密度と呼ばれる。物理の質量密度 $\rho(x)$ が1点の質量ではなく単位長さあたりの質量で、質量そのものは $\int\rho(x)\,\mathrm{d} x$ と積分して初めて得られるのと同じ構造である。

(4.4) は、確率が密度のグラフの下の面積で与えられることを言っている（図 4.1）。条件 (ii) は全体の面積が $1$ であること、すなわち $X$ がどこかの値をとる確率が $1$ であることに当たる。

図 4.1　密度 $f(x)=6x(1-x)$（$0\le x\le1$）。網掛けの面積が $P(\frac14\le X\le\frac34)=\frac{11}{16}$ である。頂点の高さ $f(\frac12)=1.5$ は破線の $1$ を超えているが、$f(x)$ は確率ではないので矛盾はない。

密度は確率ではない

密度 $f(x)$ そのものは確率ではない。このことは次の3点から確かめられる。

第一に、$f(x)$ は $1$ を超えてよい。$0\le x\le\frac12$ で $f(x)=2$、それ以外で $0$ と定めた関数は、面積が $2\times\frac12=1$ なので密度である。値 $2$ は「長さ $\frac12$ の区間に確率 $1$ が詰まっているので、単位長さあたりでは $2$」という意味で、確率が $2$ という意味ではない。図 4.1 の密度も頂点で $1.5$ になる。さらに $f(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$（$0<x\le1$）のように、$x\to0$ で限りなく大きくなる密度もある（確認テスト 4.3-3）。

第二に、$f(x)$ には単位がある。$X$ をメートルで測った長さとすると、$P(a\le X\le b)$ は単位のない数で、$\mathrm{d} x$ はメートルなので、$f(x)$ の単位は「1メートルあたり」である。同じ量をセンチメートルで測り直すと、区間の幅の数値が $100$ 倍になるので密度の数値は $1/100$ 倍になる（確認テスト 4.3-4）。確率の値が単位の取り方で変わることはないので、単位の取り方で数値が変わる $f(x)$ は確率ではない。

第三に、確率と結びつくのは $f(x)$ と小さな幅の積である。$f$ が $x$ で連続なら、小さな $h>0$ に対して

$$P(x\le X\le x+h)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d} t\approx f(x)\,h\tag{4.5}$$

が成り立つ。$f(x)$ は「確率 $\approx f(x)h$」の比例係数である。

確認テスト

オリジナル

1. 4.3-1 $f(x)=c(1-x^2)$（$-1\le x\le1$）、それ以外で $0$ が密度になるように $c$ を定め、$P(\lvert X\rvert \le\frac12)$ を求めよ。
2. 4.3-2 $f(x)=c/x^2$（$x\ge1$）、それ以外で $0$ が密度になるように $c$ を定め、$P(X>3)$ を求めよ。
3. 4.3-3 $f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$（$0<x\le1$）、それ以外で $0$ とする。$f$ が密度の条件を満たすことを示し、$f$ が有界でないことを確かめよ。また $P(X\le\frac14)$ を求めよ。
4. 4.3-4 長さ $X$（単位メートル）が密度 $f_X(x)=2$（$0\le x\le\frac12$）、それ以外で $0$ に従う。同じ長さをセンチメートルで表した $Y=100X$ の密度 $f_Y$ を求め、$P(0.1\le X\le0.2)$ と $P(10\le Y\le20)$ が一致することを確かめよ。