連続型確率分布と確率

統計学の復習　第4章 §4.4　★★★ 連続型では1点の確率が $0$ なので端点の等号は確率を変えない。事象は $x$ の集合に直してから積分する

1点の確率は0

この命題から、連続型では区間の端点を含めるかどうかで確率は変わらない。

$$P(a<X<b)=P(a\le X<b)=P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d} x.$$

離散型ではこれが成り立たない。サイコロの目 $X$ では $P(X<3)=\frac13$、$P(X\le3)=\frac12$ で、差の $\frac16$ は $P(X=3)$ である。2級の問題で「以上」「より大きい」の違いに注意が要るのは離散型（二項分布・ポアソン分布）のときで、連続型（正規分布・$t$ 分布）では気にしなくてよい。

事象を $x$ の集合に直して積分する

連続型の確率の計算は、次の2段で行う。まず、問われた事象を「$X$ がどの集合に入るか」に書き直す。次に、その集合が区間の和なら、区間ごとの積分を足す。互いに重ならない区間 $I_1,I_2$ については$P(X\in I_1\cup I_2)=\int_{I_1}f+\int_{I_2}f$ である（排反な事象の確率の和）。条件付き確率は第3章の定義 $P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)$ をそのまま使い、分子と分母をそれぞれ積分で求める。

確認テスト

オリジナル

1. 4.4-1 (a) 公正なサイコロの目 $X$ について $P(X<3)$ と $P(X\le3)$ を求めよ。(b) 密度 $f(x)=x/2$（$0\le x\le2$）、それ以外で $0$ の $X$ について $P(X<1)$ と $P(X\le1)$ を求めよ。(a) と (b) の違いを説明せよ。
2. 4.4-2 密度 $f(x)=2e^{-2x}$（$x\ge0$）、それ以外で $0$ の $X$ について $P(1\le X\le2)$ を求めよ。小数第4位まで答えよ。
3. 4.4-3 密度 $f(x)=3x^2$（$0\le x\le1$）の $X$ について $P(X>\frac12\mid X>\frac14)$ を求めよ。
4. 4.4-4 連続型の $X$ について、$P\bigl(X\in\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\}\bigr)=0$ を示せ。