累積分布関数

統計学の復習　第4章 §4.5　★★★ $F(x)=P(X\le x)$ は離散型・連続型に共通の記述。$F'=f$ と、$F$ を経由した変数変換が1級の最初の小問になる

定義と性質

累積分布関数は、離散型にも連続型にも同じ式で定義される。この点で、確率関数（離散型だけ）と密度関数（連続型だけ）よりも一般的な道具である。

証明

(1) 事象 $\{X\le b\}$ は、排反な2つの事象 $\{X\le a\}$ と $\{a<X\le b\}$ に分かれるので $F(b)=F(a)+P(a<X\le b)$。確率は非負なので $F(b)\ge F(a)$。

(2)(3) $x\to-\infty$ では事象 $\{X\le x\}$ が空集合へ、$x\to\infty$ では $\Omega$ へ縮む・広がるので、確率の連続性から極限は $0$ と $1$ になる。右連続性と跳びの式も同じ確率の連続性から得られる（厳密な議論は数理統計の解説 第2章 §2.1 で扱う）。2級の範囲では、(3) を「$F$ が跳ぶ点が離散型の値で、跳びの高さがその値の確率」と読めれば足りる。

密度との関係と分位点

連続型では、(4.4) で $a\to-\infty$ とすれば

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d} t\tag{4.6}$$

となる。微分積分学の基本定理により、$f$ が連続な点 $x$ では

$$F'(x)=f(x)\tag{4.7}$$

が成り立つ。密度は累積分布関数の導関数である。したがって、累積分布関数が先に分かれば、微分するだけで密度が得られる。次の小節の変数変換はこの事実を使う。

正規分布や $t$ 分布の密度は初等関数で原始関数を書くことができないので、$F$ の値をあらかじめ数値計算して並べたものが数表である。数表を引くことは、(4.6) の積分を代わりに済ませてもらうことに当たる。

$F(m)=\frac12$ を満たす $m$ を中央値、$F(x_\alpha)=1-\alpha$ を満たす $x_\alpha$ を上側 $100\alpha\%$ 点と呼ぶ（$F$ が連続で狭義に増加する範囲で考える）。第6章の $z_\alpha$、第10章の $t_n(\alpha)$ はこの定義で決まる点である。

累積分布関数を経由した変数変換

$X$ の密度が分かっているとき、$Y=g(X)$ の密度を求めたい場面がよくある。最も確実な方法は、まず $Y$ の累積分布関数 $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$ を $X$ の確率に書き直し、それを微分することである。

証明

$g$ が増加のとき、$g(X)\le y$ と $X\le g^{-1}(y)$ は同じ事象なので $F_Y(y)=F_X(g^{-1}(y))$。合成関数の微分と (4.7) から$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,(g^{-1})'(y)$ で、$(g^{-1})'>0$ なので (4.8) になる。

$g$ が減少のとき、$g(X)\le y$ と $X\ge g^{-1}(y)$ は同じ事象である。1点の確率は $0$ なので $F_Y(y)=1-F_X(g^{-1}(y))$。微分すると $f_Y(y)=-f_X(g^{-1}(y))\,(g^{-1})'(y)$ で、$(g^{-1})'<0$ なので、これも (4.8) の絶対値の形にまとまる。

$Y=aX+b$ では $g^{-1}(y)=(y-b)/a$、$(g^{-1})'(y)=1/a$ である。

式 (4.8) の $\lvert \mathrm{d} g^{-1}/\mathrm{d} y\rvert$ は、$\mathrm{d} x$ の幅が $\mathrm{d} y$ の幅に写るときの伸び縮みの比である。密度は単位長さあたりの確率なので、幅が伸びれば密度はその分だけ薄くなる。確認テスト 4.3-4 の単位の換算は、$g(x)=100x$ の場合に当たる。$g$ が単調でないとき（$Y=X^2$ で $X$ が負の値もとる場合など）は、公式に当てはめず、$P(g(X)\le y)$ を $X$ の区間に直す最初の段から書く（確認テスト 4.5-3）。多変数の変換とヤコビアンは数理統計の解説 第2章 §2.5 で扱う。

(1) の計算は、一般に $F$ が連続で狭義増加なら $F^{-1}(U)$ の累積分布関数が $F$ になることの一例である（$P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)$）。コンピュータで任意の分布の乱数を一様乱数から作るときは、この関係を使う。

確認テスト

オリジナル

1. 4.5-1 公正なサイコロの目 $X$ の累積分布関数 $F$ について、$F(0)$、$F(2.999)$、$F(3.5)$、$F(6)$ の値と、$P(2<X\le5)$ を求めよ。
2. 4.5-2 $X$ の累積分布関数が $F(x)=1-e^{-x/3}$（$x\ge0$）、$F(x)=0$（$x<0$）である。密度を求め、$P(2<X\le5)$（小数第4位まで）と中央値を求めよ。
3. 4.5-3 $X$ の密度を $f(x)=1-\lvert x\rvert$（$-1\le x\le1$）、それ以外で $0$ とする。$Y=X^2$ の累積分布関数と密度を求めよ。
4. 4.5-4 定理 4.8 の特別な場合として、$a<0$ のとき $Y=aX+b$ の密度が $f_Y(y)=\frac{1}{\lvert a\rvert }f_X\bigl(\frac{y-b}{a}\bigr)$ になることを、累積分布関数から直接導け。