超幾何分布

$i$ 番目に取り出したものが当たりなら $1$、はずれなら $0$ をとる確率変数を $I_i$（$i=1,\dots,n$）とすると $X=I_1+\cdots+I_n$ である。

各 $I_i$ の分布。$N$ 個を全部1列に並べる並べ方は $N!$ 通りで等しく起こり、その先頭 $n$ 個を取り出したものと考えてよい。$i$ 番目の位置に来るものは、$N$ 個のどれもが同じ確率 $1/N$ で来るので、当たりである確率は $M/N=p$ である。1番目でも $i$ 番目でも、前に何が出たかを知らなければ当たりの確率は同じである。よって $E[I_i]=p$、$V[I_i]=p(1-p)$ で、期待値の線形性から $E[X]=np$ である。

共分散。$i\ne j$ のとき、$i$ 番目と $j$ 番目の位置に来る2個の組は、$N(N-1)$ 通りの順序付きの組のどれもが等しい確率で起こるので

$$E[I_iI_j]=P(I_i=1,\ I_j=1)=\frac{M(M-1)}{N(N-1)}$$

である。よって

$$\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=\frac{M(M-1)}{N(N-1)}-\frac{M^2}{N^2}=\frac{M\bigl[N(M-1)-M(N-1)\bigr]}{N^2(N-1)}=-\frac{M(N-M)}{N^2(N-1)}=-\frac{p(1-p)}{N-1}.$$

1つが当たりだと残りの当たりが減るので、共分散は負になる。

分散。和の分散は、分散の和に、異なる組の共分散の和を足したものである（第7章 $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ を $n$ 個に広げた形）。順序付きの組 $(i,j)$、$i\ne j$ は $n(n-1)$ 個あるので

$$V[X]=\sum_{i=1}^nV[I_i]+\sum_{i\ne j}\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=np(1-p)-n(n-1)\frac{p(1-p)}{N-1}=np(1-p)\Bigl(1-\frac{n-1}{N-1}\Bigr)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}.\quad\square$$

二項係数を階乗の比で書いて並べ直すと

$$\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn} =\binom nk\cdot\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)\cdot(N-M)(N-M-1)\cdots(N-M-n+k+1)}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}$$

となる（$\binom Mk\binom{N-M}{n-k}\big/\binom Nn$ の分母と分子にある $k!\,(n-k)!$ と $n!$ をまとめると $\binom nk$ が出る）。右の分数は、分子が $k+(n-k)=n$ 個の因子、分母も $n$ 個の因子の積なので、分子と分母の因子を1つずつ組にして

$$\prod_{j=0}^{k-1}\frac{M-j}{N-j}\cdot\prod_{j=0}^{n-k-1}\frac{N-M-j}{N-k-j}$$

と書ける。前の積の各因子は $(M/N-j/N)/(1-j/N)\to p$、後ろの積の各因子は $(1-M/N-j/N)/(1-(k+j)/N)\to1-p$ に近づく。因子の数は $n$ 個で固定なので、積は $p^k(1-p)^{n-k}$ に近づく。