歪度と尖度

統計学の復習　第6章 §6.2　★ 平均と分散で測れない分布の形を、標準化した3次と4次の積率で測る。正規分布は歪度 $0$・尖度 $3$（$3$ を引く流儀では $0$）

定義

平均と分散が同じでも、分布の形は違いうる。図 6.2 の3つの密度は、どれも平均 $1$、分散 $1$ だが、指数分布は右に長い裾を引き、一様分布は裾を持たない。この違いを数で表すために、標準化した値 $(X-\mu)/\sigma$ の3乗と4乗の期待値を使う。

尖度には2つの流儀があり、本や表計算ソフトによって $\beta_2$ と $\gamma_2$ のどちらを「尖度」と呼ぶかが違う。$3$ を引くのは、正規分布の $\beta_2$ が $3$ なので、正規分布を基準の $0$ にそろえるためである。試験の問題文で「正規分布の尖度は $0$」とあれば $\gamma_2$、「$3$」とあれば $\beta_2$ の流儀である。数理統計の解説 第2章は $3$ を引く流儀で書いている。

標準化した値で定義するので、歪度と尖度は単位を持たない。$Y=aX+b$（$a\neq0$）とすると $Y-E[Y]=a(X-\mu)$、$V[Y]^{1/2}=\lvert a\rvert \sigma$ なので

$$\gamma_1(Y)=\frac{a^3E[(X-\mu)^3]}{\lvert a\rvert ^3\sigma^3}=\mathrm{sgn}(a)\,\gamma_1(X),\qquad \beta_2(Y)=\frac{a^4E[(X-\mu)^4]}{a^4\sigma^4}=\beta_2(X)$$

となる（$\mathrm{sgn}(a)$ は $a$ の符号）。歪度は向きを反転すると符号が変わり、尖度は線形変換で変わらない。

歪度の符号は、平均から右と左のどちらに大きく外れた値が出やすいかを表す。$(X-\mu)^3$ は外れた方向の符号を保ったまま外れの大きさを3乗で強調するので、右に長い裾があれば正の値が重く数えられて $\gamma_1>0$ になる。左右対称な分布では、$\mu+t$ と $\mu-t$ の寄与が打ち消し合って $\gamma_1=0$ である。尖度は4乗なので符号の情報は無く、平均から大きく外れた値がどれだけ出やすいか（裾の重さ）を表す。名前は「尖り」だが、山の頂上の尖り方よりも、裾にどれだけの確率が載っているかで値が決まる。

3つの分布の歪度と尖度

正規分布では、§6.1 の式 (6.3) から $E[Z^3]=0$、$E[Z^4]=3$ なので、$\gamma_1=0$、$\beta_2=3$ である。

連続一様分布 $\mathrm{U}(0,1)$（§6.6 で定義する。密度は区間 $(0,1)$ で $1$）では、平均 $1/2$、分散 $1/12$ で、対称なので $\gamma_1=0$ である。4次の中心積率は

$$E\Bigl[\Bigl(X-\frac12\Bigr)^4\Bigr]=\int_0^1\Bigl(x-\frac12\Bigr)^4\mathrm{d} x=\Bigl[\frac15\Bigl(x-\frac12\Bigr)^5\Bigr]_0^1=\frac15\Bigl(\frac1{32}+\frac1{32}\Bigr)=\frac1{80}$$

なので $\beta_2=(1/80)/(1/12)^2=144/80=1.8$ で、正規分布の $3$ より小さい（確認テスト 6.2-2 で一般の区間でも同じことを確かめる）。一様分布は区間の外に値をとらないので、正規分布よりも裾が軽い。

指数分布 $\mathrm{Ex}(\lambda)$ では、例題 6.3 で計算するとおり $\gamma_1=2$、$\beta_2=9$ で、右に長い裾を持ち、正規分布よりも裾が重い。

データの歪度と尖度

データ $x_1,\dots,x_n$ に対しては、期待値を標本の平均に置き換えて

$$g_1=\frac{\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^3}{\hat\sigma^3},\qquad b_2=\frac{\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^4}{\hat\sigma^4},\qquad \hat\sigma^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\tag{6.6}$$

を標本歪度・標本尖度とする。この巻の記号（第2章）に従い、$n$ で割る標本分散を $\hat\sigma^2$ と書いた。表計算ソフトの関数は、$n-1$ で割る不偏分散を使った補正つきの式で計算するので、小さな標本では値が少しずれる。2級の問題では、問題文が与えた定義に従えばよい。

第2章で見たとおり、右に裾を引くデータでは平均が中央値より大きくなりやすい。歪度が正であることと「平均 $>$ 中央値」は同じ向きの傾向を表すが、必ず両立するわけではないので、一方から他方を断定しない。

確認テスト

オリジナル

1. 6.2-1 確率変数 $X$ の歪度が $0.8$、尖度 $\beta_2$ が $4.5$ のとき、$Y=10-3X$ の歪度と尖度を答えよ。
2. 6.2-2 $X\sim\mathrm{U}(a,b)$ の歪度と尖度 $\beta_2$ を求め、$a,b$ によらないことを示せ。
3. 6.2-3 データ $1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 9$ の標本歪度を式 (6.6) で求め、中央値と平均を比べよ。
4. 6.2-4 ベルヌーイ分布 $\mathrm{Bin}(1,p)$ の歪度が $(1-2p)/\sqrt{p(1-p)}$ であることを示し、歪度が正になる $p$ の範囲を答えよ。