離散一様分布と連続一様分布

統計学の復習　第6章 §6.6　★★ 値が偏らない分布。分散 $(N^2-1)/12$ と $(b-a)^2/12$ を和と積分で導き、一様乱数から任意の分布を作る変換へつなぐ

離散一様分布

公正なサイコロの目は $N=6$ の離散一様分布に従う。期待値と分散は、和の公式 $\sum_{k=1}^Nk=N(N+1)/2$ と $\sum_{k=1}^Nk^2=N(N+1)(2N+1)/6$ から

$$E[X]=\frac1N\cdot\frac{N(N+1)}2=\frac{N+1}2,\qquad E[X^2]=\frac1N\cdot\frac{N(N+1)(2N+1)}6=\frac{(N+1)(2N+1)}6$$

となり、

$$\begin{aligned} V[X]&=\frac{(N+1)(2N+1)}6-\frac{(N+1)^2}4=\frac{(N+1)\{2(2N+1)-3(N+1)\}}{12}\\ &=\frac{(N+1)(N-1)}{12}=\frac{N^2-1}{12} \end{aligned}\tag{6.16}$$

である。サイコロでは $E[X]=3.5$、$V[X]=35/12=2.917$ になる。

値が $a,a+1,\dots,b$ の連続した整数に一様に散らばる場合は、$X-(a-1)$ が $\{1,\dots,N\}$（$N=b-a+1$）上の離散一様分布に従うので、期待値は $(a+b)/2$、分散は同じ $(N^2-1)/12$ である。定数をずらしても分散は変わらない。

連続一様分布

記号 $\mathrm{U}(a,b)$ は指示書の記号表に無いが、2級でも1級でも標準的な書き方なので、この巻ではこれを使う。密度が一定なので、区間 $(a,b)$ に含まれる小区間に入る確率は、その長さに比例する。累積分布関数は $a\le x\le b$ で $F(x)=(x-a)/(b-a)$ と1次関数になる。

分散が区間の幅 $b-a$ だけで決まり、位置によらないのは、$X=a+(b-a)U$（$U\sim\mathrm{U}(0,1)$）と書けて、$V[X]=(b-a)^2V[U]=(b-a)^2/12$ となるからである。

測定値を幅 $h$ の目盛りで丸めると、丸めの誤差は $(-h/2,h/2)$ 上の一様分布に従うと見なせることが多く、その分散は $h^2/12$ である。第1章で、階級内一様の仮定をおくと分散が $\sum_jf_jh_j^2/12$ だけ大きくなることを確かめた。その $h^2/12$ は、ここで求めた一様分布の分散である。

離散一様分布の分散 $(N^2-1)/12$ と連続一様分布の分散 $(b-a)^2/12$ は、$N$ が大きいとほぼ同じ形になる。$\{1,\dots,N\}$ の値に幅 $1$ の一様な揺らぎ $(-1/2,1/2)$ を独立に足すと $(1/2,N+1/2)$ 上の連続一様分布になり、分散は $(N^2-1)/12+1/12=N^2/12$ でちょうど一致する。

確率積分変換

(2) を使うと、計算機の一様乱数から任意の分布の乱数を作ることができる。指数分布では $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ を $u$ と置いて解くと $x=-\log(1-u)/\lambda$ なので、$X=-\log(1-U)/\lambda\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ である。$1-U$ も $\mathrm{U}(0,1)$ に従うので、$X=-\log U/\lambda$ としてもよい（第4章の例題で $-\log U\sim\mathrm{Ex}(1)$ を変数変換で確かめた）。1級では、(1) の性質が検定の $p$ 値の分布（帰無仮説の下で一様分布）として現れる。一般の累積分布関数で逆関数を一般化した形は数理統計の解説 第3章で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 6.6-1 $0,1,\dots,9$ の数字が等確率で出る乱数の期待値と分散を、式 (6.16) から求めよ。
2. 6.6-2 $X\sim\mathrm{U}(a,b)$ で $E[X]=10$、$V[X]=3$ のとき、$a$ と $b$ を求めよ。
3. 6.6-3 $X$ と $Y$ が独立に $\mathrm{U}(0,1)$ に従うとき、$S=X+Y$ の密度を畳み込みの式 (6.8) で求め、$P(S\le1.5)$ を求めよ。
4. 6.6-4 $U\sim\mathrm{U}(0,1)$ のとき、関数 $g$ を定理 6.16 の (2) で選んで、$g(U)$ が密度 $2x$（$0<x<1$）を持つようにせよ。