指数分布

部分積分で $u=x$、$\mathrm{d} v=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\mathrm{d} x$（$v=-\mathrm{e}^{-\lambda x}$）とすると

$$E[X]=\int_0^\infty x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=\Bigl[-x\mathrm{e}^{-\lambda x}\Bigr]_0^\infty+\int_0^\infty\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=0+\frac1\lambda.$$

境界の項は、$x\to\infty$ で指数関数の減少が $x$ の増加に勝つので $0$ になる。同じく $u=x^2$ として

$$E[X^2]=\Bigl[-x^2\mathrm{e}^{-\lambda x}\Bigr]_0^\infty+\int_0^\infty2x\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=\frac2\lambda\int_0^\infty x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=\frac2\lambda E[X]=\frac{2}{\lambda^2}$$

なので、$V[X]=2/\lambda^2-1/\lambda^2=1/\lambda^2$ である。中央値 $m$ は $F(m)=1/2$、すなわち $\mathrm{e}^{-\lambda m}=1/2$ を解いて $m=(\log2)/\lambda\approx0.693/\lambda$ である。

前半。 $X>s+t$ なら $X>s$ なので、$\{X>s+t\}\cap\{X>s\}=\{X>s+t\}$ である。条件付き確率の定義（第3章）から

$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t).$$

後半。 $G(t)=P(X>t)$ と置く。$G$ は非増加で、$X$ が連続型なので連続であり、$X>0$ だから $G(0)=1$、$t\to\infty$ で $G(t)\to0$ である。式 (6.14) の左辺は $G(s+t)/G(s)$ なので、$G(s)>0$ である限り

$$G(s+t)=G(s)\,G(t)\tag{6.15}$$

が成り立つ。$G(s)=0$ のときも、$G$ が非増加なので $G(s+t)=0$ となり、式 (6.15) は両辺が $0$ で成り立つ。まず $G(1)>0$ を示す。$G(1)=0$ なら、式 (6.15) を $n$ 回使った $G(1)=G(1/n)^n$ から $G(1/n)=0$ がすべての $n$ で成り立つ（$G(1/n)>0$ なら左辺が正になって矛盾する）。$n\to\infty$ とすると $G$ の連続性から $G(0)=0$ となり、$G(0)=1$ に反する。また $G(1)=1$ なら、$G(m)=G(1)^m=1$ がすべての正の整数 $m$ で成り立ち、$G(t)\to0$ に反する。よって $0<G(1)<1$ で、$\lambda=-\log G(1)>0$ と置ける。

正の整数 $m,n$ に対して、式 (6.15) をくり返し使うと $G(m/n)=G(1/n)^m$ であり、$G(1)=G(1/n)^n$ から $G(1/n)=G(1)^{1/n}$ なので

$$G\Bigl(\frac mn\Bigr)=G(1)^{m/n}=\mathrm{e}^{-\lambda m/n}$$

となる。正の有理数 $r$ で $G(r)=\mathrm{e}^{-\lambda r}$ が成り立った。任意の $t>0$ に対して $t$ に近づく有理数の列 $r_k\to t$ をとれば、$G$ と指数関数の連続性から $G(t)=\lim G(r_k)=\lim\mathrm{e}^{-\lambda r_k}=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ である。これは $\mathrm{Ex}(\lambda)$ の生存関数なので、$X\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ である。

2つの最小値が $t$ を超えるのは、両方が $t$ を超えるときなので、独立性から

$$P(M>t)=P(X_1>t,\ X_2>t)=P(X_1>t)P(X_2>t)=\mathrm{e}^{-\lambda_1t}\mathrm{e}^{-\lambda_2t}=\mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}$$

で、これは $\mathrm{Ex}(\lambda_1+\lambda_2)$ の生存関数である。次に、$X_1=x$ を固定して $X_2>x$ となる確率を $x$ について足し合わせると

$$P(X_1<X_2)=\int_0^\infty\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1x}\,P(X_2>x)\,\mathrm{d} x=\int_0^\infty\lambda_1\mathrm{e}^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}\,\mathrm{d} x=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$$

となる。