標準化した値の使い方と標準正規分布表

統計学の復習　第6章 §6.4　★★★ 表は $z\ge0$ の側しか載せない。対称性 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ と、上側・両側の点の引き分けで、すべての確率と分位点を出す

標準化した値（$z$ 値）と偏差値

データの値 $x$ を、平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ で $z=(x-\mu)/\sigma$ に直した値を標準化した値（$z$ 値）と呼ぶ。$z$ は「平均から標準偏差の何個ぶん離れているか」を表し、単位を持たない。平均や単位の違う2つの試験の得点を比べるときは、$z$ 値で比べる。$z=1.5$ の得点は、どちらの試験でも平均より標準偏差1.5個ぶん上にある。

偏差値は $50+10z$ で、標準化した値を平均 $50$、標準偏差 $10$ に線形変換したものである。得点が正規分布に従うと見なせるなら、偏差値 $60$（$z=1$）以上の人は上位 $1-\Phi(1)=15.9\%$、偏差値 $70$（$z=2$）以上は上位 $2.3\%$ である。正規分布に従わない得点の分布では、偏差値は定義できても、この割合の読み替えはできない。標準化は平均と分散だけを使う操作で、分布の形までは決めないからである。

表の引き方と対称性

標準正規分布の表には2つの形式がある。1つは $z\ge0$ に対して $\Phi(z)=P(Z\le z)$ を載せたもの、もう1つは上側確率 $Q(z)=P(Z>z)=1-\Phi(z)$ を載せたもので、資格試験で配られる表は上側確率の形式である。どちらの表も $z\ge0$ の側しか載せないので、負の $z$ は対称性で処理する。

確率を引くときは、求める範囲を数直線に描き、表に載っている $z\ge0$ の側の面積の足し引きで書き表すと、符号の取り違えを防ぐことができる。たとえば

$$P(-1.2<Z<0.5)=\Phi(0.5)-\Phi(-1.2)=\Phi(0.5)-\{1-\Phi(1.2)\}$$

で、上側確率の表なら $\{1-Q(0.5)\}-Q(1.2)$ と書き直す（確認テスト 6.4-1）。

上側 $100\alpha\%$ 点

第4章で定義したとおり、$P(Z>z_\alpha)=\alpha$ となる点 $z_\alpha$ を標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点と呼ぶ。$\Phi(z_\alpha)=1-\alpha$ と同じことである。対称性から、下側 $100\alpha\%$ 点は $-z_\alpha$ である。よく使う値は次の表のとおりで、$z_{0.05}=1.645$ と $z_{0.025}=1.960$ は区別して覚える。

両側で確率 $\alpha$ を外に残す点、すなわち $P(\lvert Z\rvert >c)=\alpha$ となる $c$ は、命題 6.8 から $2\{1-\Phi(c)\}=\alpha$、すなわち $c=z_{\alpha/2}$ である。「$P(\lvert Z\rvert \le c)=0.95$ となる $c$」は $z_{0.025}=1.960$ で、「$P(Z\le c)=0.95$ となる $c$」は $z_{0.05}=1.645$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 6.4-1 $\Phi(0.5)=0.6915$、$\Phi(1.2)=0.8849$ を使って $P(-1.2<Z<0.5)$ を求めよ。また、上側確率の表 $Q(z)=1-\Phi(z)$ だけで同じ確率を書き表せ。
2. 6.4-2 $P(\lvert Z\rvert <c)=0.90$ となる $c$ と、$P(Z>d)=0.90$ となる $d$ を、$z_{0.05}=1.645$、$z_{0.10}=1.282$ を使って答えよ。
3. 6.4-3 部品の長さが $\mathrm{N}(100,0.5^2)$（ミリメートル）に従い、規格は $99.2$ 以上 $101.0$ 以下である。規格外の割合を求めよ。また、平均を規格の中央 $100.1$ に動かすと規格外の割合はいくらになるか。$\Phi(1.6)=0.9452$、$\Phi(1.8)=0.9641$、$\Phi(2)=0.9772$ を使ってよい。
4. 6.4-4 得点が $\mathrm{N}(55,15^2)$ に従う試験を400人が受けた。$85$ 点以上の人数の期待値と、$85$ 点の偏差値を求めよ。