正規分布の再生性と標準正規分布

平均を引いた $X-\mu_1$ と $Y-\mu_2$ について示せば、定数 $\mu_1+\mu_2$ を足しても正規分布のまま平均が動くだけなので（定理 6.4）、$\mu_1=\mu_2=0$ としてよい。

まず、独立な連続型の確率変数の和 $S=X+Y$ の密度の式を用意する。第7章で扱うとおり、$X$ と $Y$ が独立なら2変数の同時密度は $f_X(x)f_Y(y)$ と積になる。$S\le s$ となる確率は、$X=x$ を固定して $Y\le s-x$ となる確率を $x$ について足し合わせたものなので

$$P(S\le s)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\Bigl(\int_{-\infty}^{s-x}f_Y(y)\,\mathrm{d} y\Bigr)\mathrm{d} x=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)F_Y(s-x)\,\mathrm{d} x$$

である。$s$ で微分すると $F_Y'=f_Y$ から

$$f_S(s)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(s-x)\,\mathrm{d} x\tag{6.8}$$

を得る（畳み込みの式。積分記号の下での微分は、ここでは正規分布の密度が十分滑らかで速く減るので許される）。

正規分布の密度を代入すると

$$f_S(s)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl(-\frac12Q(x)\Bigr)\mathrm{d} x,\qquad Q(x)=\frac{x^2}{\sigma_1^2}+\frac{(s-x)^2}{\sigma_2^2}$$

となる。$\tau^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$ と置き、$Q(x)$ を $x$ について平方完成する。$x^2$ の係数は $1/\sigma_1^2+1/\sigma_2^2=\tau^2/(\sigma_1^2\sigma_2^2)$、$x$ の係数は $-2s/\sigma_2^2$、定数項は $s^2/\sigma_2^2$ なので、

$$Q(x)=\frac{\tau^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\Bigl(x-\frac{\sigma_1^2}{\tau^2}s\Bigr)^2+\frac{s^2}{\sigma_2^2}-\frac{\tau^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\cdot\frac{\sigma_1^4}{\tau^4}s^2$$

となる。最後の2項は $\dfrac{s^2}{\sigma_2^2}\Bigl(1-\dfrac{\sigma_1^2}{\tau^2}\Bigr)=\dfrac{s^2}{\sigma_2^2}\cdot\dfrac{\sigma_2^2}{\tau^2}=\dfrac{s^2}{\tau^2}$ にまとまる。よって $c=\sigma_1^2s/\tau^2$、$v^2=\sigma_1^2\sigma_2^2/\tau^2$ と書くと $Q(x)=(x-c)^2/v^2+s^2/\tau^2$ で、

$$\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl(-\frac{(x-c)^2}{2v^2}\Bigr)\mathrm{d} x=\sqrt{2\pi}\,v=\sqrt{2\pi}\,\frac{\sigma_1\sigma_2}{\tau}$$

（命題 6.2 を $z=(x-c)/v$ の置換で使った）から

$$f_S(s)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\cdot\sqrt{2\pi}\,\frac{\sigma_1\sigma_2}{\tau}\,\exp\Bigl(-\frac{s^2}{2\tau^2}\Bigr)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\tau}\exp\Bigl(-\frac{s^2}{2\tau^2}\Bigr)$$

となる。これは $\mathrm{N}(0,\tau^2)=\mathrm{N}(0,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ の密度である。

各 $a_iX_i$ は定理 6.4 で $\mathrm{N}(a_i\mu_i,a_i^2\sigma_i^2)$ に従い（$a_i=0$ の項は定数 $0$ なので除いてよい）、独立な確率変数の関数どうしはまた独立である。定理 6.6 を $n-1$ 回くり返し使えば式 (6.9) を得る。標本平均は $a_i=1/n$、$\mu_i=\mu$、$\sigma_i^2=\sigma^2$ の場合で、平均は $n\cdot\mu/n=\mu$、分散は $n\cdot\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$ である。