この章のまとめと試験での出方

(1) $n$ 回の結果の列のうち、1の目が $x$ 回、2の目が $y$ 回、それ以外が $n-x-y$ 回になる列は、$n$ 個の位置から1の目の位置を $x$ 個、残りから2の目の位置を $y$ 個選ぶ方法の数だけあり、その数は$\binom nx\binom{n-x}y=\dfrac{n!}{x!\,y!\,(n-x-y)!}$ である。各列の確率は独立性から $p_1^xp_2^y(1-p_1-p_2)^{n-x-y}$ なので、$x,y\ge0$、$x+y\le n$ で

$$P(X=x,\ Y=y)=\frac{n!}{x!\,y!\,(n-x-y)!}\,p_1^x\,p_2^y\,(1-p_1-p_2)^{n-x-y}$$

である（この分布を多項分布と呼び、数理統計の解説 第3章・第4章で一般の形を扱う）。$X$ だけを見ると、各回が「1の目か否か」のベルヌーイ試行なので $X\sim\mathrm{Bin}(n,p_1)$、同様に $Y\sim\mathrm{Bin}(n,p_2)$ である。$P(X=n,\ Y=n)=0$（$n$ 回すべてが1の目で、かつすべてが2の目にはならない）だが、$P(X=n)P(Y=n)=p_1^np_2^n>0$ なので独立でない。台が三角形 $\{x+y\le n\}$ で長方形でないことが原因である。

(2) 双線形性（定理 7.12 (iii)(iv)）から

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{Cov}(A_i,B_j).$$

$i\ne j$ では、$A_i$ は $i$ 回目だけで、$B_j$ は $j$ 回目だけで決まり、異なる回の試行は独立なので $\mathrm{Cov}(A_i,B_j)=0$ である。$i=j$ では、同じ回に1の目と2の目が同時に出ることはないので $A_iB_i=0$ で、$\mathrm{Cov}(A_i,B_i)=E[A_iB_i]-E[A_i]E[B_i]=0-p_1p_2$ である。$n$ 個の対角の項が残り、$\mathrm{Cov}(X,Y)=-np_1p_2$ となる。1の目が多く出れば、残りの回数が減るので2の目は少なくなりやすく、負の符号はこの事情と合う。

(3) $V[X]=np_1(1-p_1)$、$V[Y]=np_2(1-p_2)$ なので

$$\rho(X,Y)=\frac{-np_1p_2}{\sqrt{np_1(1-p_1)\cdot np_2(1-p_2)}}=-\sqrt{\frac{p_1p_2}{(1-p_1)(1-p_2)}}$$

で、$n$ によらない。$p_1=p_2=1/6$ なら $\rho=-\dfrac{1/6}{5/6}=-\dfrac15$ である。

(4) 式 (7.13) から

$$\begin{aligned} V[X-Y]&=np_1(1-p_1)+np_2(1-p_2)+2np_1p_2,\\ V[X+Y]&=np_1(1-p_1)+np_2(1-p_2)-2np_1p_2. \end{aligned}$$

$X+Y$ は「1の目か2の目が出た回数」で、各回が確率 $p_1+p_2$ のベルヌーイ試行なので $X+Y\sim\mathrm{Bin}(n,p_1+p_2)$ であり、$V[X+Y]=n(p_1+p_2)(1-p_1-p_2)$ である。展開すると $n(p_1+p_2)-n(p_1^2+2p_1p_2+p_2^2)=np_1(1-p_1)+np_2(1-p_2)-2np_1p_2$ で、上の式と一致する。共分散の項 $-2np_1p_2$ を落とすと一致しない。

(5) $n=180$、$p_1=p_2=1/6$ では $E[X-Y]=30-30=0$、$V[X]=V[Y]=180\cdot\frac16\cdot\frac56=25$、$\mathrm{Cov}(X,Y)=-180/36=-5$ なので

$$V[X-Y]=25+25+10=60,\qquad\text{標準偏差}=\sqrt{60}=7.746$$

である（参考に $V[X+Y]=40=180\cdot\frac13\cdot\frac23$）。$X-Y$ は整数値をとるので、$X-Y\ge10$ を連続の分布では $X-Y\ge9.5$ と読み替えて

$$P(X-Y\ge10)\approx P\Bigl(Z\ge\frac{9.5}{7.746}\Bigr)=P(Z\ge1.226)=0.110$$

となる（$Z\sim\mathrm{N}(0,1)$）。(1) の多項分布の確率を正確に足し合わせた値は $0.1099$ で、近似はよく合っている。共分散を無視して $V[X-Y]=50$ とすると、標準偏差 $7.071$ から $P(Z\ge1.344)=0.090$ となり、確率を2割ほど小さく見積もる。