確認テストの解答

統計学の復習　第7章 §7.4

§7.1 2変数の確率分布

1. 7.1-1 6つの値 $x+y+1$ は、$x=0$ の行が $1,2,3$、$x=1$ の行が $2,3,4$ で、合計 $15$ である。$15c=1$ から $c=1/15$。$p_X(0)=(1+2+3)/15=2/5$、$p_X(1)=(2+3+4)/15=3/5$。$p_Y(0)=(1+2)/15=1/5$、$p_Y(1)=(2+3)/15=1/3$、$p_Y(2)=(3+4)/15=7/15$。$p(0,0)=1/15$ に対して $p_X(0)p_Y(0)=2/25$ で、$1/15\ne2/25$ なので独立でない。
2. 7.1-2 $\int_0^\infty\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d} x=1/2$、$\int_0^\infty\mathrm{e}^{-3y}\mathrm{d} y=1/3$ なので $c/6=1$、$c=6$。$f(x,y)=2\mathrm{e}^{-2x}\cdot3\mathrm{e}^{-3y}$ と、台 $\{x>0,\ y>0\}$ も含めて $x$ だけの因子と $y$ だけの因子に分かれるので、定理 7.6 (iii) から独立で、$X\sim\mathrm{Ex}(2)$、$Y\sim\mathrm{Ex}(3)$。$x$ を固定すると $P(Y>x)=\mathrm{e}^{-3x}$ なので

$$P(X<Y)=\int_0^\infty2\mathrm{e}^{-2x}\Bigl(\int_x^\infty3\mathrm{e}^{-3y}\mathrm{d} y\Bigr)\mathrm{d} x=\int_0^\infty2\mathrm{e}^{-5x}\mathrm{d} x=\frac25.$$ 3. 7.1-3 事象 $\{X\le b,\ Y\le d\}$ は、互いに排反な $\{X\le a,\ Y\le c\}$、$\{X\le a,\ c<Y\le d\}$、$\{a<X\le b,\ Y\le c\}$、$\{a<X\le b,\ c<Y\le d\}$ の和集合である。1つ目と2つ目の和は $\{X\le a,\ Y\le d\}$ で確率 $F(a,d)$、1つ目と3つ目の和は $\{X\le b,\ Y\le c\}$ で確率 $F(b,c)$ である。よって $F(b,d)=F(a,d)+F(b,c)-F(a,c)+P(a<X\le b,\ c<Y\le d)$ で、移項すれば式 (7.6)。7.1-2 の分布では $F(x,y)=(1-\mathrm{e}^{-2x})(1-\mathrm{e}^{-3y})$ で、式 (7.6) が積に分かれて

$$P(0.5<X\le1,\ 0.5<Y\le1)=(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2})(\mathrm{e}^{-1.5}-\mathrm{e}^{-3})=0.23254\times0.17334=0.0403.$$ 4. 7.1-4 $0<x<1$ で $f_X(x)=\int_x^12\,\mathrm{d} y=2(1-x)$、$0<y<1$ で $f_Y(y)=\int_0^y2\,\mathrm{d} x=2y$。$X>1/2$ なら台の上では $Y>X>1/2$ なので $P(X>1/2,\ Y<1/2)=0$。一方 $P(X>1/2)=\int_{1/2}^12(1-x)\,\mathrm{d} x=1/4$、$P(Y<1/2)=\int_0^{1/2}2y\,\mathrm{d} y=1/4$ で、積は $1/16\ne0$。式 (7.7) が成り立たないので独立でない。5. 7.1-5 $X=0$ の行は $(1,2,3)/15$、$p_X(0)=6/15$ で割って $p(y\mid0)=(1/6,\ 2/6,\ 3/6)$（$y=0,1,2$）、$E[Y\mid X=0]=(0+2+6)/6=4/3$。$X=1$ の行は $(2,3,4)/15$、$p_X(1)=9/15$ で割って $p(y\mid1)=(2/9,\ 3/9,\ 4/9)$、$E[Y\mid X=1]=(0+3+8)/9=11/9$。条件付き分布が $x$ によって変わるので、$p(y\mid x)=p_Y(y)$ がすべての $x$ で成り立つことはなく、独立でない。これは 7.1-1 の判定と同じ結論を、条件付き分布の側から確かめたものである。

§7.2 2変数の期待値と分散

1. 7.2-1 定理 7.12 (iii) から $\mathrm{Cov}(2X+3,\ -Y+1)=2\cdot(-1)\cdot1.5=-3$。定理 7.13 で $a=2$、$b=-1$ として $V[2X-Y]=4\cdot1+1\cdot4+2\cdot2\cdot(-1)\cdot1.5=4+4-6=2$。$\rho=1.5/(\sqrt1\sqrt4)=0.75$。
2. 7.2-2 7.1-1 の周辺分布から $E[X]=3/5$、$E[Y]=0\cdot\frac15+1\cdot\frac13+2\cdot\frac7{15}=\frac{19}{15}$。$xy\ne0$ となるのは $(1,1)$ と $(1,2)$ だけで、$E[XY]=1\cdot\frac3{15}+2\cdot\frac4{15}=\frac{11}{15}$。$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{11}{15}-\frac35\cdot\frac{19}{15}=\frac{55-57}{75}=-\frac2{75}$。$V[X]=\frac35\cdot\frac25=\frac6{25}$（ベルヌーイ分布）、$E[Y^2]=\frac13+4\cdot\frac7{15}=\frac{11}5$、$V[Y]=\frac{11}5-\frac{361}{225}=\frac{134}{225}$。$\rho=\dfrac{-2/75}{\sqrt{6\cdot134}/75}=-\dfrac2{\sqrt{804}}=-0.071$。独立ではないが、相関はごく弱い。
3. 7.2-3 定理 7.14 で $a_i=1/n$、$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\rho\sigma^2$（$i\ne j$）とすると、$i<j$ の組は $n(n-1)/2$ 個なので

$$V[\bar X]=\frac1{n^2}\Bigl(n\sigma^2+2\cdot\frac{n(n-1)}2\rho\sigma^2\Bigr)=\frac{\sigma^2}n\bigl(1+(n-1)\rho\bigr).$$

分散は負にならないので $1+(n-1)\rho\ge0$、すなわち $\rho\ge-1/(n-1)$。4枚のカードを全部（$n=4$）戻さずに引くと、引いた数字の和は順序によらず $1+2+3+4=10$ で一定なので、和の分散は $0$ になり、上の式で $1+3\rho=0$ が成り立つ。どの2枚の相関係数も同じ値なので、それは $\rho=-1/3$ で、下限 $-1/(4-1)$ にちょうど等しい。例題 7.3 の値はこの計算と一致する。4. 7.2-4 $X$ の密度は $(-1,1)$ で $1/2$ で、原点について対称なので $E[X]=0$、$E[X^3]=\int_{-1}^1x^3/2\,\mathrm{d} x=0$。よって $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[X^3]-E[X]E[X^2]=0$。$\lvert X\rvert <1/2$ なら $Y=X^2<1/4$ なので $P(\lvert X\rvert <1/2,\ Y>1/4)=0$。一方 $P(\lvert X\rvert <1/2)=1/2$、$P(Y>1/4)=P(\lvert X\rvert >1/2)=1/2$ で積は $1/4\ne0$。よって独立でない。$Y$ は $X$ で完全に決まるが、関係が直線でないので相関係数は $0$ になる。5. 7.2-5 定理 7.12 (iii) と $\sqrt{V[aX+b]}=\lvert a\rvert \sigma_X$ から

$$\rho(aX+b,\ cY+d)=\frac{ac\,\mathrm{Cov}(X,Y)}{\lvert a\rvert \sigma_X\,\lvert c\rvert \sigma_Y}=\frac{ac}{\lvert ac\rvert }\,\rho(X,Y).$$

$ac>0$ なら変わらず、$ac<0$ なら符号だけが反転する。摂氏から華氏への変換は $a=1.8>0$、$b=32$ の正の1次変換なので、相関係数は両方を摂氏で測った場合と同じ値になる。