標本の抽出方法

統計学の復習　第8章 §8.3　★★★ 層別抽出はすべての層から取り出して精度を上げ、クラスター抽出は集落を選んで費用を下げる。違いは推定量の分散の式に現れる

6つの抽出方法

2級で問われる抽出方法は次の6つである。前の5つは個体を選ぶ段階に確率を使う無作為抽出で、最後の1つだけが無作為でない。

1. 単純無作為抽出。母集団の全個体に番号を振り、乱数で $n$ 個を選ぶ。どの $n$ 個の組も同じ確率で選ばれる。推定量の分散の式が最も素直で、ほかの方法と比べる基準になる。全個体の抽出枠が要り、選ばれた個体が地理的に散らばるので調査の費用は大きい。
2. 系統抽出。抽出枠の先頭の $k$ 個から乱数で1つを選び、そこから一定の間隔 $k$ ごとに選ぶ。手間は少ないが、抽出枠の並び順に周期 $k$（またはその約数）の繰り返しがあると、同じ性質の個体ばかりが選ばれて偏る。
3. 層別抽出。母集団を、性別・年齢層・地域などの属性で層に分け、すべての層からそれぞれ無作為に取り出す。各層の大きさに比例して標本を配る方法を比例配分と呼ぶ。目的は精度を上げることである。
4. クラスター抽出（集落抽出）。母集団を学校・町丁目・世帯などの集落に分け、集落そのものを無作為に選び、選ばれた集落の中は全数を調べる。選ばれなかった集落からは1個体も取り出さない。目的は費用を下げることである。
5. 多段抽出。抽出を何段階かに分ける。たとえば第1段で市町村を選び、第2段で選ばれた市町村の中から地区を選び、第3段で選ばれた地区の中から世帯を選ぶ。選ばれた集落の中をさらに抽出する点でクラスター抽出と異なり、2段抽出は「クラスター抽出の第2段を全数でなく標本にしたもの」である。各段で選ぶ数をそろえる必要はない。
6. 有意抽出。調査者が「代表的だ」と判断した個体を選ぶ。選ばれる確率が決まっていないので、標本誤差を確率で評価することができず、選び方の偏りを確かめる手段もない。街頭での聞き取りや、応募してきた人だけの調査がこれに当たる。

この2つの方法の精度を、以下で推定量の分散の式として比べる。計算を簡単にするため、各層・各集落の中は十分大きく、戻すか戻さないかの違い（有限母集団修正）は無視する。

層別抽出の分散

母集団が $H$ 個の層に分かれ、層 $h$ の個体の割合を $W_h$（$\sum_hW_h=1$）、層 $h$ の中での平均と分散を $\mu_h$、$\sigma_h^2$ とする。母平均は $\mu=\sum_hW_h\mu_h$ である。まず母分散を、層の中のばらつきと層の間のばらつきに分ける。

証明

層 $h$ に属する個体の値を $v$ と書き、$v-\mu=(v-\mu_h)+(\mu_h-\mu)$ と分ける。層 $h$ の中で2乗を平均すると

$$\frac1{N_h}\sum_{v\in h}(v-\mu)^2=\frac1{N_h}\sum_{v\in h}(v-\mu_h)^2+\frac{2(\mu_h-\mu)}{N_h}\sum_{v\in h}(v-\mu_h)+(\mu_h-\mu)^2=\sigma_h^2+(\mu_h-\mu)^2$$

となる。$N_h$ は層 $h$ の個体の数で、交差項は層の中の偏差の和 $\sum_{v\in h}(v-\mu_h)=0$ なので消える。母分散は全個体の平均なので、層ごとの平均に重み $W_h=N_h/N$ を掛けて足すと $\sigma^2=\sum_hW_h\{\sigma_h^2+(\mu_h-\mu)^2\}$ となり、式 (8.7) が得られる。

層 $h$ から大きさ $n_h$ の無作為標本を取り、その標本平均を $\bar X_h$ とする。層別抽出での母平均の推定量は、層ごとの標本平均を層の大きさで重み付けした

$$\bar X_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^HW_h\bar X_h$$

である。各 $\bar X_h$ の期待値は $\mu_h$ なので $E[\bar X_{\mathrm{st}}]=\sum_hW_h\mu_h=\mu$ となる。層ごとの抽出は互いに独立なので、分散は各項の分散の和になり、$V[\bar X_h]=\sigma_h^2/n_h$ から

$$V[\bar X_{\mathrm{st}}]=\sum_{h=1}^HW_h^2\frac{\sigma_h^2}{n_h}\tag{8.8}$$

である。

証明

式 (8.8) に $n_h=nW_h$ を入れると $W_h^2\sigma_h^2/(nW_h)=W_h\sigma_h^2/n$ となり、最初の等号が出る。2つ目の等号は定理 8.4 を $\sum_hW_h\sigma_h^2=\sigma^2-\sum_hW_h(\mu_h-\mu)^2$ と書き直したものである。層間の項は2乗の重み付き和なので $0$ 以上で、不等号が成り立つ。

単純無作為抽出では、各層から何個体が選ばれるかが偶然で決まり、「たまたま若年層ばかり」という標本が混じる。その偶然が層間のばらつきの分だけ分散を大きくする。

比例配分の層別抽出は各層の個体数を固定するので、層間のばらつきが分散から除かれる。したがって層別の効果が大きいのは、層の平均 $\mu_h$ どうしの違いが大きく、層の中が均質なときである。層ごとの分散 $\sigma_h$ も分かっていれば、$n_h$ を $W_h\sigma_h$ に比例させる配分（Neyman 配分）で分散がさらに小さくなる（確認テスト 8.3-4）。

クラスター抽出の分散

クラスター抽出の精度が下がる理由は、同じ集落の個体どうしの値が似ていることにある。これを式で表すために、次のモデルを置く。各集落には $m$ 個の個体があり、どの個体の値も平均 $\mu$・分散 $\sigma^2$ を持ち、同じ集落の異なる2個体の相関係数はどの組でも $\rho$（級内相関係数）、異なる集落の個体どうしは独立とする。

証明

1つの集落の $m$ 個の値の和 $C$ の分散を、対角項 $m$ 個と非対角項 $m(m-1)$ 個に分けて計算する。非対角項の共分散は $\rho\sigma\cdot\sigma=\rho\sigma^2$ なので

$$V[C]=m\sigma^2+m(m-1)\rho\sigma^2=m\sigma^2\bigl\{1+(m-1)\rho\bigr\}$$

となる。$k$ 個の集落の和 $C_1,\dots,C_k$ は独立なので、$\bar X_{\mathrm{cl}}=\frac1{km}\sum_{l=1}^kC_l$ の分散は

$$V[\bar X_{\mathrm{cl}}]=\frac1{(km)^2}\cdot k\cdot m\sigma^2\bigl\{1+(m-1)\rho\bigr\}=\frac{\sigma^2}{km}\bigl\{1+(m-1)\rho\bigr\}.\quad\square$$

$\rho=0$ なら集落の中の個体は互いに無関係で、クラスター抽出は単純無作為抽出と同じ精度になる。$\rho>0$ では、集落の大きさ $m$ が大きいほどデザイン効果が大きくなる。極端な $\rho=1$ では集落の中の $m$ 個体が同じ値になり、$m$ 個体を調べても1個体分の情報しか得られない。クラスター抽出は個体1つあたりの費用が小さいので、デザイン効果の分だけ標本を増やしても全体の費用が単純無作為抽出より小さければ選ぶ価値がある。

確認テスト

オリジナル

1. 8.3-1 次の (a)〜(d) の抽出方法の名前を答えよ。(a) 全国から50の市を選び、各市の中から10の町を選び、各町の中から20世帯を選ぶ。(b) 従業員を部署ごとに分け、すべての部署からその人数に比例した人数を無作為に選ぶ。(c) 社員名簿の先頭10人から乱数で1人を選び、そこから10人おきに選ぶ。(d) 県内の高校を無作為に8校選び、その8校の全生徒に調査票を配る。
2. 8.3-2 4人1組の班が600人分、各班「班長・副班長・記録・発表」の順に並んだ名簿から、間隔 $k=4$ の系統抽出で150人を選ぶ。選ばれる人の役割にどんな偏りが生じるか。間隔を $k=5$ にした場合（選ばれるのは120人）はどうか。
3. 8.3-3 母集団が同じ大きさの2つの層（$W_1=W_2=0.5$）に分かれ、ある性質を持つ個体の割合が層1で $0.2$、層2で $0.8$ である。値を「性質を持てば1、持たなければ0」として、母分散を層内と層間に分けて求めよ。標本の大きさ $100$ で、単純無作為抽出と比例配分の層別抽出のそれぞれについて、標本比率の標準誤差を求めよ。
4. 8.3-4 式 (8.8) の分散を、$\sum_hn_h=n$ の条件の下で最小にする配分は $n_h=n\,W_h\sigma_h\big/\sum_lW_l\sigma_l$ で、そのときの最小値は $\bigl(\sum_hW_h\sigma_h\bigr)^2/n$ であることを、Cauchy–Schwarz の不等式 $\bigl(\sum_ha_hb_h\bigr)^2\le\sum_ha_h^2\sum_hb_h^2$ を使って示せ。例題 8.4 の母集団で $n=200$ のときの各層の $n_h$ と分散の最小値を求め、比例配分の $0.866$ と比べよ。
5. 8.3-5 定理 8.6 のモデルで、集落の大きさ $m=25$、級内相関係数 $\rho=0.2$ のとき、デザイン効果を求めよ。この方法で単純無作為抽出の400人分と同じ精度を得るには、集落をいくつ選べばよいか。