この章のまとめと試験での出方

(1) $\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho\sigma^2$ なので、線形結合の分散の公式から

$$V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)=2\sigma^2-2\rho\sigma^2=2\sigma^2(1-\rho).$$

(2) 異なる試料の差は独立なので $V[\bar D]=V[X-Y]/n=2\sigma^2(1-\rho)/n$ である。独立な2標本では式 (10.14) から $V[\bar X-\bar Y]=\sigma^2/n+\sigma^2/n=2\sigma^2/n$ である。比は

$$\frac{V[\bar D]}{V[\bar X-\bar Y]}=1-\rho$$

で、標準誤差の比は $\sqrt{1-\rho}$ である。$\rho$ が $1$ に近いほど、対応を使った推定の標準誤差は小さくなる。

(3) 差 $d_i$ は $0.3,\ 0.5,\ 0.1,\ 0.4,\ 0.2,\ 0.6,\ 0.0,\ 0.3$ で、$\bar d=2.4/8=0.30$ である。偏差は $0,\ 0.2,\ -0.2,\ 0.1,\ -0.1,\ 0.3,\ -0.3,\ 0$ で、二乗和は $0.28$、$s_d^2=0.28/7=0.04$、$s_d=0.2$ である。標準誤差は $0.2/\sqrt8=0.07071$、半幅は $2.365\times0.07071=0.1672$ で、

$$[\,0.30-0.167,\ 0.30+0.167\,]=[\,0.133,\ 0.467\,].$$

区間は $0$ を含まず、A の方が大きく測る傾向があると判断することができる。

(4) $\bar x_A=88.0/8=11.0$、$\bar x_B=85.6/8=10.7$ で、差の点推定値は $0.30$ と (3) と同じである。プールした分散は

$$s_p^2=\frac{7.92+5.86}{8+8-2}=\frac{13.78}{14}=0.9843,\qquad s_p=0.9921$$

で、標準誤差は $0.9921\sqrt{1/8+1/8}=0.4961$、半幅は $2.145\times0.4961=1.064$ である。区間は $[\,-0.764,\ 1.364\,]$ で、$0$ を含む。

(5) 標本相関係数は

$$r=\frac{6.75}{\sqrt{7.92\times5.86}}=\frac{6.75}{6.8126}=0.991$$

である。試料ごとの大きさの違い（$9.5$ から $12.3$ まで）が A と B の両方に乗っているので、2つの測定値は強い正の相関を持つ。(2) から、対応を使うと標準誤差は対応を無視した場合の約 $\sqrt{1-\rho}$ 倍になる。$\rho$ を $r=0.991$ で置き換えると $\sqrt{0.009}=0.095$ で、実際の標準誤差の比 $0.0707/0.4961=0.143$ と同じ桁になる。ちょうど一致しないのは、(2) が A と B の分散を等しいとしたからである。偏差平方和を $S_{AA}=7.92$、$S_{BB}=5.86$、偏差積和を $S_{AB}=6.75$ と書くと、$(n-1)s_d^2=S_{AA}+S_{BB}-2S_{AB}$、$(n-1)\cdot2s_p^2=S_{AA}+S_{BB}$ なので、標準誤差の比の2乗は正確に

$$\frac{s_d^2/n}{s_p^2\cdot 2/n}=1-\frac{2S_{AB}}{S_{AA}+S_{BB}}=1-\frac{13.5}{13.78}=0.0203$$

で、平方根は $0.143$ と実際の比に一致する。$S_{AA}=S_{BB}$ のときは $2S_{AB}/(S_{AA}+S_{BB})=r$ となり、(2) の $1-\rho$ の形に戻る。対応を無視すると、試料どうしの違いが誤差に入って区間が約6倍に広がり、(3) では検出できた差が (4) では検出できなくなる。対応のあるデータは差をとって分析する。