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統計学の復習　第11章 §11.2　★★★ 半幅 $z_{\alpha/2}\sqrt{p(1-p)/n}$ を指定した値以下にする $n$ を逆算する。$p$ の見当が無ければ $p(1-p)\le1/4$ を使い、最後は切り上げる

半幅から $n$ を逆算する

調査を計画する段階では、「母比率を誤差 $\pm d$ 以内で推定したい」という要求から、標本の大きさ $n$ を決めることが多い。区間 (11.3) の半幅は $z_{\alpha/2}\sqrt{p(1-p)/n}$ である（計画の段階では $\hat p$ はまだ得られていないので、母比率 $p$ かその見当の値 $p^*$ で書く）。これを $d$ 以下にする条件は

$$z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}n}\le d \iff n\ge\Bigl(\frac{z_{\alpha/2}}d\Bigr)^2p^*(1-p^*)$$

である。両辺が正なので2乗しても同値で、$n$ を左辺に集めた。

見当が無いときの式は、$p(1-p)$ の最大値から出る。$p(1-p)=\frac14-\bigl(p-\frac12\bigr)^2\le\frac14$ で、等号は $p=1/2$ のときだけ成り立つ。$p(1-p)$ を最大値 $1/4$ で置き換えれば、真の $p$ がいくつであっても半幅は $d$ 以下になる。つまり $p=1/2$ を仮定するのは「最も不利な場合に備える」ことで、見当 $p^*$ が $1/2$ から遠いほど、見当を使った方が少ない $n$ で済む。

計算した値が整数でなければ切り上げる。$n=1067.1$ なら、$1067$ 人では条件 $n\ge1067.1$ を満たさないので、$1068$ 人が必要である。四捨五入すると条件を満たさない場合があるので、どんなに端数が小さくても切り上げる。

$n$ と精度の関係、母平均の場合

(11.5) で $n$ は $1/d^2$ に比例する。半幅を半分にするには $n$ を4倍、$1/10$ にするには $100$ 倍にしなければならない。標準誤差が $1/\sqrt n$ でしか小さくならないことの言い換えで、調査の精度を上げる費用が急に増えるのはこのためである。また、$n$ は母集団の大きさ $N$ を含まない。日本全体の世論調査でも一つの市の調査でも、同じ精度を得るのに要る $n$ はほぼ同じである（$N$ が $n$ より十分大きければ）。

母平均の推定でも同じ逆算をする（第10章 §10.1 の例題で数値を1回通した）。母分散 $\sigma^2$ が既知（または過去のデータからの見当がある）とき、第10章の区間 $\bar x\pm z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$ の半幅を $d$ 以下にするには

$$n\ge\Bigl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}d\Bigr)^2\tag{11.6}$$

とすればよい。母比率の式 (11.5) は、$\sigma^2$ をベルヌーイ分布の分散 $p(1-p)$ に置き換えたものである。

確認テスト

オリジナル

1. 11.2-1 $0\le p\le1$ で $p(1-p)\le1/4$ が成り立つことを平方完成で示し、等号が成り立つ $p$ を答えよ。
2. 11.2-2 母比率を信頼係数99% で誤差 $\pm0.02$ 以内に推定したい。見当が無いとき、必要な $n$ を求めよ（$z_{0.005}=2.5758$）。
3. 11.2-3 不良率がおよそ10% と見込まれる工程で、不良率を95% の信頼係数で誤差 $\pm0.02$ 以内に推定するのに必要な個数を求めよ。
4. 11.2-4 母標準偏差が $\sigma=12$ と分かっている母集団で、母平均を95% の信頼係数で誤差 $\pm2$ 以内に推定するのに必要な $n$ を求めよ。さらに誤差を $\pm1$ 以内にするときの $n$ を求め、(前者の $n$)$\times4$ と一致しない理由を述べよ。