母比率の差の信頼区間

統計学の復習　第11章 §11.3　★★ 独立な2標本で $V[\hat p_1-\hat p_2]=p_1q_1/n_1+p_2q_2/n_2$。区間では $\hat p_1,\hat p_2$ を別々に代入し、プールしない

差の分布と区間

2つの母集団の母比率 $p_1,p_2$ の差を推定する。母集団1から $n_1$ 個、母集団2から $n_2$ 個を互いに独立に抽出し、標本比率を $\hat p_1=X_1/n_1$、$\hat p_2=X_2/n_2$ とする。$q_i=1-p_i$ と書く。期待値の線形性から $E[\hat p_1-\hat p_2]=p_1-p_2$ である。分散は、第7章の $V[X-Y]=V[X]+V[Y]-2\mathrm{Cov}(X,Y)$ で、2つの標本が独立なので $\mathrm{Cov}(\hat p_1,\hat p_2)=0$ となり、

$$V[\hat p_1-\hat p_2]=V[\hat p_1]+V[\hat p_2]=\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}\tag{11.7}$$

である。差の分散でも符号は $+$ になる。$\hat p_2$ に $-1$ を掛けると分散は $(-1)^2=1$ 倍になるからで、差をとっても2つのばらつきは打ち消し合わず、足し合わされる。

$n_1,n_2$ がともに大きければ、$\hat p_1$ と $\hat p_2$ はそれぞれ近似的に正規分布に従い、独立な正規確率変数の差は正規分布に従う（第6章の再生性）。したがって

$$\frac{(\hat p_1-\hat p_2)-(p_1-p_2)}{\sqrt{p_1q_1/n_1+p_2q_2/n_2}}$$

は近似的に $\mathrm{N}(0,1)$ に従う。§11.1 と同じく分母の $p_i$ を $\hat p_i$ で置き換えて不等式を解くと、次の区間を得る。

検定ではプールし、区間ではプールしない理由

第13章の母比率の差の検定では、帰無仮説 $H_0:p_1=p_2$ の下で標準誤差を計算するために、2つの標本を合わせた比率 $\hat p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)$ を使う（プールした比率）。検定統計量は「$H_0$ が正しいと仮定したら、この差はどれほど珍しいか」を測るものなので、$H_0$ の下での分散を使うのが筋であり、$p_1=p_2=p$ なら分散は $p(1-p)(1/n_1+1/n_2)$ で、共通の $p$ を推定するには全データを合わせるのが最もよい。

区間推定には仮定すべき帰無仮説が無い。推定したいのは $p_1$ と $p_2$ の差そのもので、$p_1\ne p_2$ かもしれない状況で差の大きさを見積もっている。そこで $p_1=p_2$ を前提にした $\hat p$ を使う理由はなく、それぞれの母比率をそれぞれの標本で推定して (11.7) に代入する。まとめると、検定は $H_0$ の世界での計算なのでプールし、区間は $H_0$ を置かない計算なのでプールしない。

この違いのため、「95% 区間が $0$ を含まない」ことと「有意水準5% の両側検定で $H_0:p_1=p_2$ が棄却される」ことは、母比率の差では厳密には一致しない（標準誤差の値が少し違うから）。$n_1,n_2$ が大きく、2つの比率が近ければ、ほとんどの場合に結論は一致する。

確認テスト

オリジナル

1. 11.3-1 独立な2標本について $V[\hat p_1-\hat p_2]=p_1q_1/n_1+p_2q_2/n_2$ を導け。差の分散なのに $+$ になる理由を1文で述べよ。
2. 11.3-2 地区Aで150世帯中90世帯、地区Bで200世帯中100世帯がある制度を利用していた。利用率の差 $p_A-p_B$ の90% 信頼区間を求めよ（$z_{0.05}=1.645$）。
3. 11.3-3 11.3-2 のデータで、プールした比率による標準誤差を計算せよ。$H_0:p_A=p_B$ の検定と差の区間推定のどちらでどちらの標準誤差を使うかを答えよ。
4. 11.3-4 2群の大きさを等しく $n_1=n_2=n$ とし、母比率の見当が無いとき、差の95% 区間の半幅を $0.05$ 以下にするのに必要な各群の $n$ を求めよ。