$\chi^2$ 分布表の引き方

統計学の復習　第11章 §11.5　★★ 表の値は上側確率 $\alpha$ の点 $\chi^2_\nu(\alpha)$。分布が左右非対称なので、両側の区間には上側と下側の2つの点を別々に引く

上側の点と下側の点

$W\sim\chi^2_\nu$ について、$P(W>c)=\alpha$ となる $c$ を上側 $100\alpha\%$ 点と呼び、$\chi^2_\nu(\alpha)$ と書く。$\chi^2$ 分布表は、行が自由度 $\nu$、列が上側確率 $\alpha$ で、その交点に $\chi^2_\nu(\alpha)$ が並ぶ。下側 $100\alpha\%$ 点、すなわち $P(W<c)=\alpha$ となる $c$ は、上側確率が $1-\alpha$ の点なので $\chi^2_\nu(1-\alpha)$ である。表の右寄りの列（$\alpha=0.025,\ 0.01$ など）が上側の点、左寄りの列（$\alpha=0.975,\ 0.99$ など）が下側の点に当たる。

正規分布や $t$ 分布は $0$ について対称なので、下側の点は上側の点の符号を変えるだけで得られた（$-z_\alpha$、$-t_\nu(\alpha)$）。$\chi^2$ 分布は対称でないので、そうはならない。たとえば自由度 $9$ では $\chi^2_9(0.025)=19.023$、$\chi^2_9(0.975)=2.700$ で、期待値 $9$ から上へ $10.02$、下へ $6.30$ 離れている（図 11.3）。両側95% の範囲を作るには、この2つを表から別々に引かなければならない。

図 11.3　$\chi^2_9$ の密度と、両側にそれぞれ確率 $0.025$ を残す2つの点。下側の点 $\chi^2_9(0.975)=2.700$ は期待値の $6.30$ 下、上側の点 $\chi^2_9(0.025)=19.023$ は $10.02$ 上にあり、右の裾の方が長い。

表に無い値の扱いと、自由度が大きいときの近似

表の値から、統計量の上側確率の範囲を読むこともできる。自由度 $15$ で統計量が $24$ なら、表の $\chi^2_{15}(0.10)=22.307$ と $\chi^2_{15}(0.05)=24.996$ の間にあるので、上側確率は $0.05$ と $0.10$ の間である（正確な値は $0.0651$）。

自由度が表の範囲を超えて大きいときは、中心極限定理（$\chi^2_\nu$ は独立な $\nu$ 個の和）から

$$\chi^2_\nu(\alpha)\approx\nu+z_\alpha\sqrt{2\nu}\tag{11.14}$$

と近似できる。自由度 $100$ では $100+1.645\times\sqrt{200}=123.26$ で、正確な値 $124.34$ より $1.1$ 小さい。分布が右に歪んでいる分だけ、正確な上側の点は正規近似より右にある。この近似は2級の範囲では見当をつけるためのもので、試験では表の値を使う。

2つの特別な自由度では、点を数表なしに求めることができる。自由度 $1$ では $P(Z^2>c)=P(\lvert Z\rvert >\sqrt c)$ なので $\chi^2_1(\alpha)=z_{\alpha/2}^2$ で、たとえば $\chi^2_1(0.05)=1.960^2=3.841$ である。自由度 $2$ では例題 11.5 のとおり $\chi^2_2(\alpha)=-2\log\alpha$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 11.5-1 $\chi^2_1(0.05)=z_{0.025}^2$ となる理由を、$W=Z^2$ と書いて説明せよ。
2. 11.5-2 数表を使わずに $\chi^2_2(0.10)$ を求めよ（$\log10=2.302585$）。
3. 11.5-3 自由度 $50$ の上側5% 点を (11.14) で近似し、正確な値 $67.505$ との差を答えよ。差が正負どちらに出るかを分布の形から説明せよ。
4. 11.5-4 $W\sim\chi^2_{12}$ のとき、$P(W<a)=0.05$ となる $a$ と、$P(W>b)=0.05$ となる $b$ を、表の記号 $\chi^2_{12}(\cdot)$ で書き、値を答えよ（$\chi^2_{12}(0.95)=5.226$、$\chi^2_{12}(0.05)=21.026$）。$P(a\le W\le b)$ はいくらか。