母分散の信頼区間

統計学の復習　第11章 §11.6　★★★ ピボット $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ を2つの点ではさみ、$\sigma^2$ について解く。大きい方の点で割ったものが下端になり、区間は $s^2$ について非対称

ピボットから区間を作る

正規母集団 $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ から大きさ $n$ の標本をとり、母分散 $\sigma^2$ の信頼区間を作る。定理 11.7 の

$$Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

は、未知の $\sigma^2$ を含むが、その分布 $\chi^2_{n-1}$ は $\mu$ にも $\sigma^2$ にもよらない。このような量をピボットと呼ぶ。第10章の $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)\sim t_{n-1}$ も、母平均のピボットである。分布が母数によらないので、表から2つの点を引けば、$Q$ がその間に入る確率が母数を知らなくても決まる。

$\chi^2_{n-1}$ の両側に確率 $\alpha/2$ ずつを残すと

$$P\!\left(\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)\le\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\le\chi^2_{n-1}(\alpha/2)\right)=1-\alpha$$

である。括弧の中の不等式を $\sigma^2$ について解く。各辺は正なので逆数をとると不等号の向きが逆になり、

$$\frac1{\chi^2_{n-1}(\alpha/2)}\le\frac{\sigma^2}{(n-1)S^2}\le\frac1{\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)}$$

となる。各辺に正の $(n-1)S^2$ を掛けて次を得る。

正規近似の区間と違って、これは近似でなく正確な区間である（母集団が正規分布であれば）。$\sigma$ の区間が両端の平方根でよいのは、$x\mapsto\sqrt x$ が $x>0$ で増加関数で、$a\le\sigma^2\le b$ と $\sqrt a\le\sigma\le\sqrt b$ が同値だからである。

区間の形の読み方

区間 (11.15) には、母平均の区間と違う点が2つある。

第一に、大きい方の点で割ったものが下端になる。分子の $(n-1)s^2$ は共通で、分母が大きいほど値は小さくなるからである。逆数をとったときに不等号の向きが変わったことの結果で、上側の点 $\chi^2_{n-1}(\alpha/2)$ が下端の分母、下側の点 $\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)$ が上端の分母に来る。区間を計算したら、下端が上端より小さいことを必ず確かめる。

第二に、区間は $s^2$ を中心に左右対称でなく、「$s^2\pm$ 何か」の形に書くことができない。$\chi^2$ 分布の上側の点は期待値 $n-1$ から遠く、下側の点は近い（図 11.3）。逆数をとるとこの関係が入れ替わり、区間は $s^2$ より上の側に長く伸びる。母分散を小さく見積もった標本（$s^2$ がたまたま小さい）でも区間が真の値を含むように、上の側に余裕を持たせた形になっている。

なお、両側に $\alpha/2$ ずつを残す区間（等裾の区間）は、$\chi^2$ 分布が非対称なので、信頼係数 $1-\alpha$ の区間のうちで長さが最短のものではない。長さを最短にする区間の求め方は数理統計の解説 第8章 §8.3 で扱う。2級と1級の計算問題では、等裾の区間 (11.15) を使う。

$\mu$ が既知のとき、標本分散で与えられたとき

母平均 $\mu$ が既知なら、(11.9) の $\sum(X_i-\mu)^2/\sigma^2\sim\chi^2_n$ をピボットにして、同じ手順で

$$\left[\ \frac{\sum(x_i-\mu)^2}{\chi^2_n(\alpha/2)}\ ,\ \ \frac{\sum(x_i-\mu)^2}{\chi^2_n(1-\alpha/2)}\ \right]\tag{11.16}$$

を得る。自由度は $n$ である。データから $\bar x$ を推定しなくてよいので、自由度が1つ多い。

正規性の仮定

母平均の区間は、母集団が正規分布でなくても、$n$ が大きければ中心極限定理によってほぼ正しい信頼係数を持つ。母分散の区間はそうならない。定理 11.7 は正規母集団に固有の性質で、母集団が正規分布でないと $(n-1)S^2/\sigma^2$ の分散は $2(n-1)$ からずれる（$S^2$ の分散が母集団の4次のモーメントに依存するからである）。そのずれは $n$ を大きくしても消えない。たとえば母集団が指数分布のとき、95% のつもりの区間 (11.15) が $\sigma^2$ を含む割合は、乱数による実験（各 $n$ で20万回）で $n=10$ のとき約 $76.5\%$、$n=30$ で約 $71.4\%$、$n=100$ で約 $69.0\%$ であり、$n$ が増えるほどむしろ名目の95% から離れる。正規母集団で同じ実験をすると、どの $n$ でも $95.0\%$ になる。母分散の区間を使う前に、ヒストグラムや Q-Q プロット（第16章）で正規性を確かめるのはこのためである。

確認テスト

オリジナル

1. 11.6-1 母分散の区間 (11.15) で、上側の点 $\chi^2_{n-1}(\alpha/2)$ が下端の分母に来る理由と、区間が $s^2$ について上の側に長くなる理由を説明せよ。
2. 11.6-2 正規母集団から20個をとり、偏差平方和が $\sum(x_i-\bar x)^2=38$ だった。$\sigma^2$ と $\sigma$ の95% 信頼区間を求めよ（$\chi^2_{19}(0.025)=32.852$、$\chi^2_{19}(0.975)=8.907$）。
3. 11.6-3 母平均が $\mu=50$ と分かっている正規母集団から10個をとり、$\sum(x_i-50)^2=25$ だった。$\sigma^2$ の95% 信頼区間を求めよ（$\chi^2_{10}(0.025)=20.483$、$\chi^2_{10}(0.975)=3.247$）。
4. 11.6-4 品質管理では、ばらつきが「高々どれだけか」を保証したいので、片側の区間 $\sigma^2\le(n-1)s^2/\chi^2_{n-1}(1-\alpha)$ を使う。この不等式が確率 $1-\alpha$ で成り立つことを示し、$n=25$、$s^2=0.09$ のときの $\sigma^2$ と $\sigma$ の95% 上側信頼限界を求めよ（$\chi^2_{24}(0.95)=13.848$）。