繰り返しのある二元配置と交互作用

統計学の復習　第15章 §15.5　★★★ 2つの要因の効果を主効果と交互作用に分け、平方和を4つに分解する。交互作用は「一方の要因の効果が他方の水準によって変わる」部分で、自由度は $(a-1)(b-1)$ と掛け算になる

データの構造式と交互作用

要因 $A$（水準 $A_1,\dots,A_a$）と要因 $B$（水準 $B_1,\dots,B_b$）のすべての組合せ $A_iB_j$ で、それぞれ $r$ 回（$r\ge2$）ずつデータを取る。これを繰り返しのある二元配置と呼ぶ。データは

$$x_{ijk}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}+\varepsilon_{ijk},\qquad \varepsilon_{ijk}\sim\mathrm N(0,\sigma^2)\ \text{独立}\tag{15.15}$$

（$k=1,\dots,r$）に従い、$\sum_ia_i=0$、$\sum_jb_j=0$、すべての $j$ について $\sum_i(ab)_{ij}=0$、すべての $i$ について $\sum_j(ab)_{ij}=0$ とする。$a_i$ を $A$ の主効果、$b_j$ を $B$ の主効果、$(ab)_{ij}$ を交互作用と呼ぶ。

組合せ $A_iB_j$ の母平均を $\mu_{ij}$ とすると、$\mu_{ij}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}$ である。交互作用が無い（すべて $0$）とき、$B_1$ から $B_2$ へ変えたときの母平均の変化 $\mu_{i2}-\mu_{i1}=b_2-b_1$ は $A$ の水準 $i$ によらない。交互作用があると、この変化が $i$ によって変わる。交互作用とは、一方の要因の効果が他方の要因の水準によって違うことである。横軸に $B$ の水準、縦軸に組合せの平均をとって $A$ の水準ごとに折れ線を描くと、交互作用が無ければ折れ線は平行になる（図 15.3）。

交互作用の自由度は次のように数える。$(ab)_{ij}$ は $ab$ 個の数で、行の和が $0$（$a$ 本）・列の和が $0$（$b$ 本）という制約を受ける。ただし行の和をすべて足したものと列の和をすべて足したものはどちらも総和なので、制約のうち1本は残りから出る。独立な制約は $a+b-1$ 本で、自由に動ける数は

$$ab-(a+b-1)=(a-1)(b-1)$$

である。一元配置の自由度 $k-1$ が「$k$ 個から1本の制約を引く」引き算だったのに対し、交互作用の自由度は2つの要因の「$1$ を引いたもの」の掛け算になる。第13章の独立性の検定の自由度 $(r-1)(c-1)$ と同じ数え方である。

平方和の分解

組合せの平均を $\bar x_{ij\cdot}=\frac1r\sum_kx_{ijk}$、$A_i$ の平均を $\bar x_{i\cdot\cdot}$、$B_j$ の平均を $\bar x_{\cdot j\cdot}$、全体の平均を $\bar x$ と書く。偏差を4つに分ける。

$$x_{ijk}-\bar x=\underbrace{(\bar x_{i\cdot\cdot}-\bar x)}_{\alpha_i}+\underbrace{(\bar x_{\cdot j\cdot}-\bar x)}_{\beta_j}+\underbrace{(\bar x_{ij\cdot}-\bar x_{i\cdot\cdot}-\bar x_{\cdot j\cdot}+\bar x)}_{\gamma_{ij}}+\underbrace{(x_{ijk}-\bar x_{ij\cdot})}_{e_{ijk}}.\tag{15.16}$$

証明

4つの成分は次の和の性質を持つ。$\sum_i\alpha_i=0$、$\sum_j\beta_j=0$、すべての $j$ で $\sum_i\gamma_{ij}=0$、すべての $i$ で $\sum_j\gamma_{ij}=0$、すべての $(i,j)$ で $\sum_ke_{ijk}=0$。たとえば $\sum_i\gamma_{ij}=a\bar x_{\cdot j\cdot}-a\bar x-a\bar x_{\cdot j\cdot}+a\bar x=0$ である（$\sum_i\bar x_{ij\cdot}=a\bar x_{\cdot j\cdot}$、$\sum_i\bar x_{i\cdot\cdot}=a\bar x$ を使った）。

式 (15.16) を2乗して $i,j,k$ について足すと、6種類の交差項が出る。それぞれ0になることを示す。$\alpha_i\beta_j$ の和は $r\bigl(\sum_i\alpha_i\bigr)\bigl(\sum_j\beta_j\bigr)=0$ である。$\alpha_i\gamma_{ij}$ の和は $r\sum_i\alpha_i\bigl(\sum_j\gamma_{ij}\bigr)=0$、$\beta_j\gamma_{ij}$ の和は $r\sum_j\beta_j\bigl(\sum_i\gamma_{ij}\bigr)=0$ である。$\alpha_i,\beta_j,\gamma_{ij}$ はどれも $k$ によらないので、$e_{ijk}$ との交差項は $k$ についての和 $\sum_ke_{ijk}=0$ を因数に持ち、0 である。2乗の項は、$k$ によらない成分を $k$ について足すと $r$ 倍、さらに $\alpha_i$ を $j$ について足すと $b$ 倍になるので、定理の形になる。

自由度は、$\alpha_i$ が $a$ 個の数に1本の制約、$\beta_j$ が $b$ 個に1本、$\gamma_{ij}$ が上で数えた $(a-1)(b-1)$、$e_{ijk}$ が $abr$ 個に $ab$ 本の制約なので $ab(r-1)$ である。足すと $(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)+ab(r-1)=abr-1$ である。

平均平方を $V_A=S_A/\phi_A$ などとすると、期待値は

$$E[V_A]=\sigma^2+\frac{br\sum_ia_i^2}{a-1},\quad E[V_B]=\sigma^2+\frac{ar\sum_jb_j^2}{b-1},\quad E[V_{A\times B}]=\sigma^2+\frac{r\sum_{i,j}(ab)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)},\quad E[V_e]=\sigma^2\tag{15.17}$$

である。$E[V_e]=\sigma^2$ は、各組合せの中の $r$ 個が独立な正規標本であることから、定理 15.8 の $S_e$ と同じ計算で出る。$E[V_A]$ は次のように出る。$\sum_jb_j=0$ と $\sum_j(ab)_{ij}=0$ から $\bar x_{i\cdot\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon_{i\cdot\cdot}$ で、$\bar\varepsilon_{i\cdot\cdot}$ は $br$ 個の誤差の平均である。したがって $S_A$ は、大きさ $br$ の $a$ 個の群で作る一元配置の群間平方和と同じ形で、定理 15.8 の証明がそのまま使える。$E[V_B]$ も同様である。$E[V_{A\times B}]$ の証明は実験計画法の解説 第5章 §5.2 で扱う。

したがって、それぞれの帰無仮説（$a_i$ がすべて $0$、$b_j$ がすべて $0$、$(ab)_{ij}$ がすべて $0$）のもとでは、対応する平均平方の期待値は $\sigma^2$ に等しい。検定統計量は $V_e$ を分母にした

$$F_A=\frac{V_A}{V_e},\qquad F_B=\frac{V_B}{V_e},\qquad F_{A\times B}=\frac{V_{A\times B}}{V_e}$$

で、それぞれ $F_{\phi_A,\phi_e}$・$F_{\phi_B,\phi_e}$・$F_{\phi_{A\times B},\phi_e}$ の上側の点と比べる。

計算の手順

一元配置と同じく、合計から平方和を出す。$T_{ij}$ を組合せ $A_iB_j$ の合計、$T_{i\cdot}$・$T_{\cdot j}$ を $A_i$・$B_j$ の合計、$CT=T^2/(abr)$ とすると

$$S_A=\sum_i\frac{T_{i\cdot}^2}{br}-CT,\quad S_B=\sum_j\frac{T_{\cdot j}^2}{ar}-CT,\quad S_{AB}=\sum_{i,j}\frac{T_{ij}^2}{r}-CT,$$

$$S_{A\times B}=S_{AB}-S_A-S_B,\qquad S_e=S_T-S_{AB}$$

である。$S_{AB}$ は組合せの平均どうしのばらつき（$ab$ 個の組合せを $ab$ 水準の一元配置とみたときの群間平方和）で、交互作用の平方和 $S_{A\times B}$ とは別のものである。記号を混同しないようにする。

確認テスト

オリジナル

1. 15.5-1 $A$ が3水準・$B$ が4水準・繰り返し $r=3$ の二元配置で、各要因と誤差・計の自由度を求めよ。
2. 15.5-2 2×2 の組合せの母平均が $\mu_{11}=10$、$\mu_{12}=14$、$\mu_{21}=12$、$\mu_{22}=20$ のとき、$\mu$・$a_i$・$b_j$・$(ab)_{ij}$ を求めよ。$B$ の効果 $\mu_{i2}-\mu_{i1}$ が $A$ の水準でどれだけ違うかを、$(ab)_{ij}$ で表せ。
3. 15.5-3 各組合せで1回ずつしかデータを取らない（$r=1$）と、定理 15.11 の $S_e$ とその自由度はどうなるか。そのとき交互作用を検定することができない理由を述べよ。
4. 15.5-4 定理 15.11 の $S_A$ を、$\bar x_{i\cdot\cdot}$ を使わずに $\sum_iT_{i\cdot}^2/(br)-CT$ で計算してよい理由を、第2章の平行移動の公式から説明せよ。