さまざまな指数

統計学の復習　第16章 §16.9　★★ 物価指数は価格の比を支出額の重みで平均したもの。Laspeyres は基準時点の数量、Paasche は比較時点の数量で重みを付ける

指数とは

ある量の値を、基準となる時点の値を $100$ として表したものを指数と呼ぶ。1つの品目の価格なら、基準時点の価格 $p_0$ と比較時点の価格 $p_1$ から $100\times p_1/p_0$ が価格指数である。比 $p_1/p_0$ を価格比と呼ぶ。物価のように多くの品目をまとめるときは、品目ごとの価格比をどう平均するかが問題になる。価格比を単純に平均すると、家計の支出に占める割合の小さい品目の値上がりも、大きい品目の値上がりも同じ重さで数えてしまう。そこで、買う量（数量）を固定した「買い物かご」の費用の比として指数を定める。

Laspeyres 指数は「基準時点の買い物かごを、比較時点の価格で買うといくらかかるか」、Paasche 指数は「比較時点の買い物かごを、基準時点の価格で買うといくらだったか」の比である。Laspeyres 指数は基準時点の数量だけを調べればよいので、毎期の数量の調査が要らない。日本の消費者物価指数は Laspeyres 型の指数である。

値上がりした品目の購入を減らして別の品目に切り替える行動があると、比較時点の数量は値上がりした品目で小さくなる。そのため Paasche 指数は値上がりした品目を軽く数え、Laspeyres 指数より低めに出ることが多い。これはいつでも成り立つ定理ではなく、そうした切り替えがあるときの傾向である。Fisher 指数は2つの幾何平均で、両者の間の値をとる。

基準の変更と実質化

指数の基準時点を変えるときは、全時点の指数を新しい基準時点の指数で割って $100$ を掛ける。指数の比は基準によらないので、これで新しい基準時点が $100$ になる（Laspeyres 指数では、数量の重みまで新しい基準時点に揃えたことにはならない点に注意する）。金額で表した量（名目値）を物価の変化を除いた量（実質値）に直すには、名目値を物価指数で割って $100$ を掛ける。これを実質化と呼び、使う物価指数をデフレーターと呼ぶ。名目の伸び率と実質の伸び率の関係は $(1+\text{名目})=(1+\text{実質})(1+\text{物価})$ で、伸び率が小さいときは近似的に「実質 $\approx$ 名目 $-$ 物価」となる。

確認テスト

オリジナル

1. 16.9-1 Laspeyres 指数と Paasche 指数のそれぞれについて、計算に要るデータと、指数が表している「買い物かご」の意味を述べよ。
2. 16.9-2 3品目の基準時点と比較時点の価格・数量が $(p_0,q_0,p_1,q_1)=(50,20,60,15)$、$(200,5,210,6)$、$(80,10,72,12)$ のとき、Laspeyres 指数・Paasche 指数・Fisher 指数を求めよ。
3. 16.9-3 2020年を $100$ とする物価指数が、2022年に $103.0$、2024年に $109.2$ だった。(a) 2022年を $100$ とする指数に直したときの2024年の値を求めよ。(b) 名目の月給が2022年の $30.0$ 万円から2024年の $31.5$ 万円に上がった。2022年の価格で表した2024年の実質の月給と、実質の伸び率を求めよ。
4. 16.9-4 命題 16.13 の Paasche 指数の式を、品目が1つだけの場合に確かめ、そのとき3つの指数がすべて価格比に一致することを示せ。