自己相関

統計学の復習　第16章 §16.8　★★ 時点を $h$ だけずらした値どうしの相関が自己相関で、並べた図がコレログラム。季節変動があれば周期のラグで山ができ、独立な系列なら $\pm2/\sqrt n$ の範囲に収まる

標本自己相関係数

時系列では、隣り合う時点の値が似ていることが多い。この性質を、時点を $h$ だけずらした値の組 $(y_t,y_{t+h})$ の相関で測る。$h$ をラグ（時差）と呼ぶ。

この定義は、第14章の相関係数を2つの系列 $(y_1,\dots,y_{n-h})$ と $(y_{1+h},\dots,y_n)$ に当てはめたものと少し違う。平均には系列全体の $\bar y$ を使い、分母は $n$ のまま、分散も全体の $c_0$ を使う。$h$ が $n$ に比べて小さければ、ふつうの相関係数とほぼ同じ値になる。分母を $n-h$ でなく $n$ にしておくと、$\lvert r_h\rvert \le1$ が保証され、$h$ の大きい（組の数の少ない）$r_h$ が不安定に大きくなることを防げる。

コレログラムの形から、系列の性質を読み取ることができる。

• 傾向（右上がりなど）のある系列では、離れた時点どうしも「両方とも平均より上」または「両方とも下」になりやすいので、$r_h$ は正で、$h$ とともにゆっくり減る。
• 周期 $L$ の季節変動のある系列では、$h=L,2L,\dots$ で同じ季節どうしが組になるので、$r_h$ がその位置で山になる。
• 互いに独立な系列（ホワイトノイズ）では、$h\ge1$ の $r_h$ は $0$ の近くに散らばり、$n$ が大きいとき近似的に $\mathrm{N}(0,1/n)$ に従う。そのため $\pm1.96/\sqrt n$（約 $\pm2/\sqrt n$）の範囲を目安の線としてコレログラムに引き、それを超える $r_h$ を「自己相関がある」ことの手がかりとする。この近似の根拠は1級の範囲で、ここでは結果だけを使う。

自己相関を持つ系列の例

自己相関がどのように生じるかを、2つの簡単な系列で計算しておく。以下、$e_t$ は互いに独立で平均 $0$、分散 $\sigma^2$ とする。母集団での自己相関（理論値）を $\rho(h)=\mathrm{Cov}(y_t,y_{t+h})/V[y_t]$ と書く。

この命題は、移動平均で均した系列には、元の系列が独立でも見かけの自己相関が生じることを示している。移動平均した値どうしは同じデータを共有しているからである。移動平均した系列のコレログラムを読むときは、この見かけの相関を割り引く。

もう1つの典型は、今期の値が前期の値に引きずられる系列 $y_t=\phi y_{t-1}+e_t$（$\lvert \phi\rvert <1$、1次の自己回帰）で、$\rho(h)=\phi^h$ とラグとともに指数的に減る（確認テスト 16.8-4）。自己回帰の系列や、より一般の確率過程は数理統計の解説 第12章で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 16.8-1 例題 16.7 の12時点の生産量の標本自己相関係数は、$r_1=0.438$、$r_2=-0.059$、$r_3=0.202$、$r_4=0.348$ だった。$r_4$ が $r_2$、$r_3$ より大きい理由を述べよ。
2. 16.8-2 系列 $4,6,5,3,2,4$ の $r_1$ と $r_2$ を求めよ。
3. 16.8-3 $y_t=(e_t+e_{t+1})/2$ のとき、$\rho(1)$ と $\rho(2)$ を求めよ。命題 16.11 と同じ方法でよい。
4. 16.8-4 $y_t=\phi y_{t-1}+e_t$（$\lvert \phi\rvert <1$、$e_t$ は過去の $y$ と独立）で、$V[y_t]$ と $\mathrm{Cov}(y_t,y_{t+h})$ が $t$ によらないとする。$V[y_t]=\sigma^2/(1-\phi^2)$ と $\rho(h)=\phi^h$ を示せ。