発展的事項

1. 和事象 $C_m=\bigcup_{n\ge m}A_n$ は減少列で、その積は $\bigcap_mC_m=\limsup A_n$ である。確率の連続性（定理1.4 の 2）と Boole の不等式から

$$P(\limsup A_n)=\lim_{m\to\infty}P(C_m)\le\lim_{m\to\infty}\sum_{n=m}^\infty P(A_n)=0 .$$

最後の等号は、収束する級数の残りの和が 0 に近づくことによる。

2. 補集合で考える。de Morgan の法則から

$$(\limsup A_n)^c=\bigcup_m\bigcap_{n\ge m}A_n^c .$$

よって各 $m$ で $P(\bigcap_{n\ge m}A_n^c)=0$ を示せばよい。そうすれば Boole の不等式（可算個）から、補集合の確率は $\sum_m0=0$ 以下になる。

$m$ を固定し $M>m$ とする。このとき $\bigcap_{n\ge m}A_n^c\subset\bigcap_{n=m}^MA_n^c$ である。補集合 $A_n^c$ も独立（命題1.12 を有限個に広げたもの）だから

$$P\Bigl(\bigcap_{n=m}^MA_n^c\Bigr)=\prod_{n=m}^M\{1-P(A_n)\}\le\prod_{n=m}^M\mathrm{e}^{-P(A_n)}=\exp\Bigl(-\sum_{n=m}^MP(A_n)\Bigr).$$

ここで不等式 $1-x\le\mathrm{e}^{-x}$ を使った。これは、$\mathrm{e}^{-x}$ が凸で、原点での接線が $1-x$ であることから従う。$\sum P(A_n)=\infty$ なので、$M\to\infty$ で右辺は 0 に近づく。よって $P(\bigcap_{n\ge m}A_n^c)=0$ を得る。

$0<i<N$ とし、1回目に増える事象を $W$ とする。$W$ が起こると所持金は $i+1$ になる。そこからあとは、所持金 $i+1$ から始めた場合と同じ確率法則に従う（毎回の結果が独立で、確率が過去によらないため）。$N$ に先に到達する事象を $E$ とすると、

$$P(E\mid W)=r_{i+1},\qquad P(E\mid W^c)=r_{i-1}.$$

全確率の公式から

$$r_i=p\,r_{i+1}+q\,r_{i-1}\qquad(0<i<N),\qquad r_0=0,\ r_N=1 .\tag{1.13}$$

左辺を $r_i=(p+q)r_i$ と書いて移項すると、次の式を得る。

$$p(r_{i+1}-r_i)=q(r_i-r_{i-1}).$$

つまり差 $d_i=r_{i+1}-r_i$ が $d_i=\rho\,d_{i-1}$ をみたす。繰り返すと $d_i=\rho^id_0=\rho^ir_1$ で、

$$r_i=r_0+\sum_{k=0}^{i-1}d_k=r_1\sum_{k=0}^{i-1}\rho^k .$$

右辺の和と、境界条件 $r_N=1$ から決まる初項は、$\rho$ で場合が分かれる。

• $\rho\ne1$ なら、和は $\frac{1-\rho^i}{1-\rho}$ である。境界条件から $r_1=\frac{1-\rho}{1-\rho^N}$ が決まる。
• $\rho=1$ なら、和は $i$ である。境界条件から $r_1=1/N$ が決まる。

これを代入すると (1.12) になる。