この章のまとめと試験での出方

数理統計　第2章 §2.6

本章では、確率変数の分布を分布関数 $F$ で表した。分布関数は単調非減少・右連続で、両端の極限が0と1になる。跳びの高さはその点の確率になる。

離散型では確率関数、連続型では密度で分布を表し、密度に含まれる定数は規格化条件から決まる。分位点関数を使った確率積分変換は、逆関数法による乱数生成と、連続な検定統計量の $p$ 値が一様分布に従うことの根拠になる。

期待値は絶対収束するときだけ定義され、線形性は独立性を仮定しない。非負の確率変数では裾の公式

$$E[X]=\int_0^\infty P(X>x)\,\mathrm{d} x$$

が使え、打ち切りや最小値のように分布関数の方が書きやすい場面で計算が短くなる。$E[(X-c)^2]=V[X]+(\mu-c)^2$ の分解は、推定量の平均2乗誤差の分解の原型である。Markov・Chebyshev・Jensen の3つの不等式は、第5章の大数の法則、第6章の最尤推定量の性質で繰り返し使う。

母関数は、確率母関数・積率母関数・特性関数のいずれも次の3性質を持つ。

• 微分して積率を出す。
• 独立和では積になる。
• 一致すれば分布が一致する。

この3性質を順に使うのが再生性の証明の型で、ポアソン・正規・ガンマ（尺度がそろうとき）・カイ二乗の和がそれぞれ同じ族に留まることを示すことができる。積率母関数を $n$ 乗根の形に書けば、無限分解可能性も示すことができる。

変数変換は分布関数法が基本である。単調な変換では

$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\lvert \mathrm{d} g^{-1}/\mathrm{d} y\rvert$$

を使い、単調でない変換では区間に分けて寄与を足す。台の変換を書き落とさないことが答案の要点である。

1級の統計数理（90分で5問から3問を選択）では、本章の操作は次のような小問の連鎖の前半として現れる。

• 密度の定数を規格化条件で決める → 分布関数を求める → 最小値・最大値などの統計量の分布関数を書く →微分して密度を出す → 期待値を求める（裾の公式を使うと速い）。第5章の順序統計量の問題の前半がこの形である。
• 各 $X_i$ の積率母関数を計算する → 独立和の積率母関数を掛ける → 一意性で和の分布を同定する（再生性）→ $n$ 乗根の形に書き直して無限分解可能性を示す。2025年 統計数理 問5 の題材（ポアソン分布の再生性と無限分解可能性）がこの型である。
• 正規分布に従う確率変数を $Y=e^X$ と変換する → 単調変換の公式で密度を求める → 正規の積率母関数で1次・2次の積率を求める →平均と分散を出す。2025年 統計数理 問5 の後半の題材（対数正規分布の平均と分散）がこの型で、第6章の最尤推定へ続く。
• $Z^2$ の分布を変数変換で求める → ガンマ分布の形と比べて $\chi^2_1$ と同定する → 積率母関数の積から一般の自由度の密度へ進む。第5章の正規母集団からの標本分布の導出の第1段である。

どの連鎖でも、最初の小問で定数や台を誤ると後ろの小問がすべて崩れる。部分点の制度がある試験なので、台・積分範囲・積率母関数が有限になる $t$ の範囲を毎回書くことが、失点を防ぐ最も確実な方法である。