確認テストの解答

数理統計　第2章 §2.7

1. 2.1-1 (a) 分布関数である。3性質を順に確かめる。

   • 単調性：$e^{-x}$ は減少関数なので $-e^{-x}$ は増加し、指数関数も増加なので、合成は狭義増加である。
   • 右連続性：連続なので右連続。
   • 左端：$x\to-\infty$ で $e^{-x}\to\infty$ なので、分布関数は0に近づく。
   • 右端：$x\to\infty$ で $e^{-x}\to0$ なので、分布関数は1に近づく。

3性質を満たす（Gumbel 分布）。

(b) 分布関数でない。$F(0)=1$ で、$0<x<1$ では

$$F'(x)=-e^{-x}+xe^{-x}=-(1-x)e^{-x}<0$$

なので、区間 $(0,1)$ で減少し、単調非減少性を満たさない。例えば $F(1)=1-e^{-1}=0.632<F(0)$ である。2. 2.1-2 跳びは式 (2.2) から読む。

$$\begin{aligned}P(X=1)&=F(1)-F(1-)=1/2-1/4=1/4,\\ P(X=2)&=F(2)-F(2-)=1-(1/2+1/4)=1/4,\\ P(X<1)&=F(1-)=1/4,\\ P(1/2<X\le3/2)&=F(3/2)-F(1/2)=(1/2+1/8)-1/16=9/16.\end{aligned}$$

最後の区間には点1の跳び $1/4$ が含まれ、残り $5/16$ が連続部分の確率である。全体では跳びの合計が $1/2$、連続部分の確率が $1/2$ の混合型である。3. 2.1-3 連続で狭義増加な分布関数では $F^{-}=F^{-1}$ なので、方程式 $F(x)=u$ を解けばよい。

1. (a) $1-e^{-\lambda x}=u$ から $x=-\log(1-u)/\lambda$。よって $X=-\log(1-U)/\lambda\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$。$1-U$ も一様分布に従うので、$X=-\log U/\lambda$ でもよい。
2. (b) $1-x^{-a}=u$ から $x=(1-u)^{-1/a}$。よって $X=(1-U)^{-1/a}$。
3. (c) コーシー分布の分布関数は

$$F(x)=\int_{-\infty}^x\frac{\mathrm{d} t}{\pi(1+t^2)}=\frac12+\frac1\pi\arctan x.$$

$F(x)=u$ から $x=\tan(\pi(u-1/2))$。よって $X=\tan(\pi(U-1/2))$。4. 2.1-4 増加列 $h_n\downarrow0$ を取り、$A_n=\{X\le x-h_n\}$ とおく。$A_n$ は増加列で、和集合は $\{X<x\}$ である。理由は次の2つである。

• $X(\omega)<x$ なら、十分大きい番号で $X(\omega)\le x-h_n$。
• 逆に $X(\omega)\le x-h_n$ なら $X(\omega)<x$。

確率の連続性（増加列の確率は和集合の確率に収束する）から、$F(x-h_n)=P(A_n)\to P(X<x)$。分布関数は単調なので左極限 $F(x-)$ が存在し、特定の列での極限と一致する。よって $F(x-)=P(X<x)$。5. 2.2-1 部分分数 $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ から

$$\sum_{k=1}^K\frac1{k(k+1)}=1-\frac1{K+1}\to1.$$

よって $c=1$。なお $\sum_kk\cdot\frac1{k(k+1)}=\sum_k\frac1{k+1}=\infty$ なので、この分布は期待値を持たない。6. 2.2-2 $\int_0^\infty(1+x)^{-3}\mathrm{d} x=\bigl[-\frac12(1+x)^{-2}\bigr]_0^\infty=\frac12$ なので $C=2$。分布関数は

$$F(x)=\int_0^x2(1+t)^{-3}\mathrm{d} t=1-(1+x)^{-2}\quad(x>0),\qquad F(x)=0\quad(x\le0).$$

中央値は $1-(1+m)^{-2}=1/2$ を解いて、$m=\sqrt2-1=0.4142$。7. 2.2-3 式 (2.7) から

$$\bar F(x)=\exp\Bigl(-\int_0^x2t\,\mathrm{d} t\Bigr)=e^{-x^2}.$$

よって非負の範囲で分布関数は $F(x)=1-e^{-x^2}$ で、密度は $2xe^{-x^2}$ である。確率は

$$P(X>1)=e^{-1}=0.3679,\qquad P(X>2\mid X>1)=e^{-4}/e^{-1}=e^{-3}=0.0498.$$

2つの値が異なるので、無記憶性は成り立たない。ハザードが時間とともに増える（摩耗する）ので、生き残った個体ほど故障しやすい。8. 2.2-4 裾の確率は次のとおりである（最初の $n$ 回がすべて失敗する確率と読んでもよい）。

$$P(X>n)=\sum_{k=n+1}^\infty p(1-p)^{k-1}=p(1-p)^n\cdot\frac{1}{1-(1-p)}=(1-p)^n$$

$\{X>m+n\}\subset\{X>m\}$ なので

$$P(X>m+n\mid X>m)=\frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}=\frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m}=(1-p)^n=P(X>n).$$ 9. 2.3-1 被積分関数は偶関数なので

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\lvert x\rvert }{\pi(1+x^2)}\mathrm{d} x=\frac2\pi\int_0^\infty\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d} x =\frac2\pi\lim_{R\to\infty}\frac12\log(1+R^2)=\infty.$$

絶対積分が発散するので、定義 2.8 により期待値は存在しない。10. 2.3-2 2.2-4 の解答から $P(X\ge k)=P(X>k-1)=(1-p)^{k-1}$。裾の公式で

$$E[X]=\sum_{k\ge1}(1-p)^{k-1}=1/p.$$

次に $q=1-p$ と置き、公式 $\sum_{k\ge1}k(k-1)q^{k-2}=\frac{\mathrm{d} ^2}{\mathrm{d} q^2}\sum_{k\ge0}q^k=2/(1-q)^3$ を使う。

$$\begin{aligned}E[X(X-1)]&=\sum_kk(k-1)pq^{k-1}=pq\cdot\frac{2}{p^3}=\frac{2q}{p^2},\\ V[X]&=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2=\frac{2q}{p^2}+\frac1p-\frac1{p^2}=\frac{2q+p-1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.\end{aligned}$$ 11. 2.3-3 $\frac1{k+1}\cdot\frac{\lambda^k}{k!}=\frac1\lambda\cdot\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}$ なので

$$E\Bigl[\frac1{X+1}\Bigr]=\frac{e^{-\lambda}}\lambda\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{e^{-\lambda}}\lambda(e^\lambda-1)=\frac{1-e^{-\lambda}}\lambda.$$ 12. 2.3-4 $k=\sum_{j=1}^k1$ と書くと

$$E[X]=\sum_{k=1}^\infty kP(X=k)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^kP(X=k).$$

項はすべて非負なので、和の順序を入れ替えてよい。$j$ を固定して $k\ge j$ について足すと

$$\sum_{j=1}^\infty\sum_{k=j}^\infty P(X=k)=\sum_{j=1}^\infty P(X\ge j).$$ 13. 2.4-1 (a) $t\ne0$ で $M(t)=\int_0^1e^{tx}\mathrm{d} x=(e^t-1)/t$。また $M(0)=1$。(b) 密度は区間 $(-1,1)$ で $1/2$ なので

$$\varphi(t)=\frac12\int_{-1}^1(\cos tx+\mathrm{i}\sin tx)\mathrm{d} x.$$

正弦の項は奇関数で積分は0である。残りは $\frac12\int_{-1}^1\cos tx\,\mathrm{d} x=\frac12\cdot\frac{2\sin t}{t}=\frac{\sin t}{t}$。14. 2.4-2 二項定理から

$$G(s)=\sum_{k=0}^n\binom nkp^k(1-p)^{n-k}s^k=(1-p+ps)^n.$$

微分すると次のようになる。

$$G'(s)=np(1-p+ps)^{n-1},\qquad G''(s)=n(n-1)p^2(1-p+ps)^{n-2}$$

$s=1$ を代入して $E[X]=np,\ E[X(X-1)]=n(n-1)p^2$。よって

$$V[X]=n(n-1)p^2+np-n^2p^2=np-np^2=np(1-p).$$ 15. 2.4-3 $t<\lambda$ で、$\lvert t\rvert <\lambda$ なら級数にも展開できる。

$$M(t)=\int_0^\infty\lambda e^{-(\lambda-t)x}\mathrm{d} x=\frac{\lambda}{\lambda-t}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{\lambda^k}$$

$t^k/k!$ の係数を比べると、$E[X^k]=k!/\lambda^k$ を得る。$\mu=1/\lambda$ として

$$\begin{aligned}E[(X-\mu)^3]&=E[X^3]-3\mu E[X^2]+3\mu^2E[X]-\mu^3=\frac{6-6+3-1}{\lambda^3}=\frac2{\lambda^3},\\ V[X]&=2/\lambda^2-1/\lambda^2=1/\lambda^2.\end{aligned}$$

歪度は $(2/\lambda^3)/(1/\lambda^3)=2$ で、母数によらない。16. 2.4-4 (a) 式 (2.19) から

$$\begin{aligned}E[Y]&=M_X(1)=e^{\mu+\sigma^2/2},\qquad E[Y^2]=M_X(2)=e^{2\mu+2\sigma^2},\\ V[Y]&=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).\end{aligned}$$

$\mu=0,\sigma=1$ では $E[Y]=e^{1/2}=1.6487,\ V[Y]=e(e-1)=4.6708$。

(b) $t>0$ とする。もとの正規分布の密度で書くと

$$E[e^{tY}]=\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl\{te^x-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr\}\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{2\pi}\sigma}.$$

$x\to\infty$ で、指数の第1項は第2項より速く増える（指数関数は任意の多項式より速く増える）。よってある点より右で被積分関数は $1/(\sqrt{2\pi}\sigma)$ 以上になり、積分は発散する。17. 2.4-5 正規分布。積率母関数は次のように $n$ 乗の形に書ける。

$$\exp(\mu t+\sigma^2t^2/2)=\Bigl\{\exp\Bigl(\frac\mu nt+\frac{\sigma^2}{n}\frac{t^2}2\Bigr)\Bigr\}^n$$

括弧の中は $\mathrm{N}(\mu/n,\sigma^2/n)$ の積率母関数である。したがってこの分布に従う独立な $n$ 個の和は、一意性から $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ に従う。

ガンマ分布。$t<1/\beta$ で

$$(1-\beta t)^{-\alpha}=\{(1-\beta t)^{-\alpha/n}\}^n$$

で、括弧の中は $\mathrm{Ga}(\alpha/n,\beta)$ の積率母関数である（例題 2.4）。よって $\mathrm{Ga}(\alpha/n,\beta)$ に従う独立な確率変数の和が、$\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$ に従う。どちらも任意の $n$ で成り立つので、無限分解可能である。18. 2.5-1 もとの確率関数は $P(X=0)=P(X=3)=1/8$、$P(X=1)=P(X=2)=3/8$。変換 $Y=(X-1)^2$ は、値 0, 1, 2, 3 をそれぞれ 1, 0, 1, 4 に移す。同じ値に移る点の確率を足すと次のようになる。

$$P(Y=0)=3/8,\quad P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=1/8+3/8=1/2,\quad P(Y=4)=1/8$$

合計は1である。19. 2.5-2 もとの密度は区間 $(-1,2)$ で $1/3$。変換後の台は $[0,4)$ である。値の範囲で分ける。

• $0<y<1$：正負の両方の逆像が台に入るので、式 (2.25) から $f_Y(y)=\frac{1/3+1/3}{2\sqrt y}=\frac1{3\sqrt y}$。
• $1<y<4$：負の側の $-\sqrt y<-1$ は台の外なので、正の側だけが寄与する。$f_Y(y)=\frac{1/3}{2\sqrt y}=\frac1{6\sqrt y}$。
• それ以外では0。

積分は次のとおり1になる。

$$\int_0^1\frac{\mathrm{d} y}{3\sqrt y}+\int_1^4\frac{\mathrm{d} y}{6\sqrt y}=\frac23+\frac13(2-1)=1$$ 20. 2.5-3 平方根は正の範囲で増加で、逆関数は $x=y^2$、微分係数は $2y$ である。よって

$$f_Y(y)=e^{-y^2}\cdot2y=2ye^{-y^2}\qquad(y>0).$$

(a) 部分積分で

$$E[Y]=\int_0^\infty2y^2e^{-y^2}\mathrm{d} y=\bigl[-ye^{-y^2}\bigr]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-y^2}\mathrm{d} y=\frac{\sqrt\pi}2.$$

(b) もとの密度で積分すると

$$E[\sqrt X]=\int_0^\infty x^{1/2}e^{-x}\mathrm{d} x=\Gamma(3/2)=\frac12\Gamma(1/2)=\frac{\sqrt\pi}2=0.8862.$$

両者は一致する。21. 2.5-4 正接は区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ で狭義増加で、値域は $\mathbb{R}$。逆関数は $x=\arctan y$、微分係数は $1/(1+y^2)$。もとの密度は $1/\pi$ なので

$$f_Y(y)=\frac1\pi\cdot\frac1{1+y^2}\qquad(y\in\mathbb{R}).$$ 22. 2.5-5 変換 $g(u)=-2\log u$ は区間 $(0,1)$ で狭義減少で、値域は正の実数全体である。逆関数は $u=e^{-y/2}$、微分係数の絶対値は $\frac12e^{-y/2}$。一様分布の密度は1なので

$$f_Y(y)=\frac12e^{-y/2}\qquad(y>0).$$

これは $\mathrm{Ex}(1/2)=\mathrm{Ga}(1,2)=\mathrm{Ga}(2/2,2)$ で、自由度2のカイ二乗分布 $\chi^2_2$ である。