この章のまとめと試験での出方

数理統計　第3章 §3.4

この章では、離散分布として二項・ポアソン・幾何・負の二項・超幾何・多項、連続分布として一様・正規・指数・ガンマ・カイ二乗・ベータと対数正規などを作り、それぞれの平均・分散・母関数を定義から導いた。導き方は3種類に分かれる。

1. 指示変数の和に分解する方法。二項・超幾何・多項の平均と分散がこれで出る。非復元抽出では指示変数どうしの共分散が負になり、有限母集団修正 $(N-n)/(N-1)$ が現れる。

2. 母関数を微分する方法。次の値がこれで出る。

   • ポアソンの階乗積率 $\lambda^r$。
   • 幾何分布の平均 $q/p$ と分散 $q/p^2$。
   • 正規分布の $E[Z^4]=3$。

3. 密度の規格化を別の母数で使い直す方法。次の量がこれで出る。

   • ガンマ分布の積率 $E[X^k]=\beta^k\Gamma(\alpha+k)/\Gamma(\alpha)$ と、積率母関数 $(1-\beta t)^{-\alpha}$。
   • ベータ分布の積率と、ポアソン・ガンマ混合の周辺分布。

被積分関数を見て「どの母数のどの分布の密度の、規格化定数を除いた部分か」を読み取ることが計算の要になる。

分布どうしの関係は次の連鎖にまとまる。

$$\mathrm{Ex}(\lambda)\xrightarrow{\ n\text{ 個の和}\ }\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)\xrightarrow{\ \times2\lambda\ }\mathrm{Ga}(n,2)=\chi^2_{2n},\qquad \mathrm{N}(0,1)\xrightarrow{\ 2\text{ 乗}\ }\chi^2_1\xrightarrow{\ n\text{ 個の和}\ }\chi^2_n ,$$

$$\mathrm{Bin}(n,p)\xrightarrow{\ np\to\lambda\ }\mathrm{Po}(\lambda),\qquad \mathrm{Ga}(a,\beta),\ \mathrm{Ga}(b,\beta)\xrightarrow{\ \text{比}\ X/(X+Y)\ }\mathrm{Beta}(a,b)\ \ (\text{和と独立}),$$

$$P\bigl(\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)\le t\bigr)=P\bigl(\mathrm{Po}(\lambda t)\ge n\bigr),\qquad \mathrm{Po}\text{ を }\mathrm{Ga}\text{ で混合}=\mathrm{NB}.$$

表 3.1 に、本章の主な分布の平均・分散・母関数をまとめる。

1級の統計数理（90分で5問から3問を選ぶ記述式）では、この章の内容が単独の大問になることは少なく、大問の前半の小問として現れる。典型的な連鎖は次のとおりである。

• 確率関数のたたみ込み、または積率母関数の積で和の分布を求める → 再生性を確かめる → その和を条件にした条件付き分布（二項分布）を導く →それを検定や区間推定に使う。2025年 統計数理 問5 の題材（ポアソン分布の再生性と積率母関数による無限分解可能性、対数正規分布の積と最尤推定量）はこの型の前半に当たる。
• 指数分布の標本 → 和がガンマ分布 → $2\lambda\sum X_i\sim\chi^2_{2n}$ → $\lambda$ の信頼区間や検定の棄却域。
• 2つのガンマ変数（あるいはカイ二乗変数）→ ヤコビアンで和と比の同時密度 → 独立性とベータ分布 → $F$ 分布の導出（第5章）。
• 分布を指数型分布族の正準形に書く → 十分統計量 $\sum T(X_i)$ を読み取る → $\kappa$ の微分で平均・分散・Fisher 情報量 → 最尤推定量とその漸近分布（第6章）。

答案では、ガンマ分布の母数が尺度か率か、幾何分布が失敗の回数か試行回数かを最初に宣言する。母関数を使うなら定義域（$t<1/\beta$、$\lvert s\rvert <1/q$ など）を書き添える。再生性を使うときは、共通であるべき母数が共通であることを確認してから使う（二項なら $p$、ガンマなら $\beta$）。