確認テストの解答

数理統計　第3章 §3.5

1. 3.1-1 裾を計算すると

$$P(X\ge k)=\sum_{j=k}^\infty pq^j=pq^k(1+q+q^2+\cdots)=\frac{pq^k}{1-q}=q^k .$$

$\{X\ge k+m\}\subset\{X\ge k\}$ なので

$$P(X\ge k+m\mid X\ge k)=\frac{P(X\ge k+m)}{P(X\ge k)}=\frac{q^{k+m}}{q^k}=q^m=P(X\ge m).$$ 2. 3.1-2 (3.5) で $r=3$ として $E[X(X-1)(X-2)]=G_X'''(1)=\lambda^3$。次の恒等式を使う。

$$X^3=X(X-1)(X-2)+3X(X-1)+X .$$

右辺を展開すると $X^3-3X^2+2X+3X^2-3X+X=X^3$ となって確かめられる。期待値をとると

$$E[X^3]=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda .$$

$E[X^2]=\lambda^2+\lambda$ も使って

$$E[(X-\lambda)^3]=E[X^3]-3\lambda E[X^2]+3\lambda^2E[X]-\lambda^3=(\lambda^3+3\lambda^2+\lambda)-3\lambda(\lambda^2+\lambda)+3\lambda^3-\lambda^3=\lambda .$$ 3. 3.1-3 二項係数は次のとおりである。

$$\binom82=28,\qquad \binom{12}{3}=220,\qquad \binom{20}5=15504 .$$

よって

$$P(X=2)=\frac{28\times220}{15504}=\frac{6160}{15504}=0.3973 .$$

$p=8/20=0.4$ から

$$\begin{aligned}E[X]&=5\times0.4=2,\\ V[X]&=5\times0.4\times0.6\times\frac{20-5}{20-1}=1.2\times\frac{15}{19}=\frac{18}{19}=0.947 .\end{aligned}$$

$\mathrm{Bin}(5,0.4)$ の分散は 1.2 で、非復元抽出の方が有限母集団修正 $15/19$ の分だけ小さい。4. 3.1-4 共分散の公式から

$$\begin{aligned}V[X_i+X_j]&=np_i(1-p_i)+np_j(1-p_j)-2np_ip_j\\ &=n\{(p_i+p_j)-(p_i^2+2p_ip_j+p_j^2)\}=n(p_i+p_j)(1-p_i-p_j).\end{aligned}$$

一方、「結果 $i$ または $j$」を1つの結果とみる。すると $X_i+X_j\sim\mathrm{Bin}(n,p_i+p_j)$ である。その分散は $n(p_i+p_j)(1-p_i-p_j)$ で、両者は一致する。相関係数は

$$\rho(X_i,X_j)=\frac{-np_ip_j}{\sqrt{np_i(1-p_i)\cdot np_j(1-p_j)}}=-\sqrt{\frac{p_ip_j}{(1-p_i)(1-p_j)}} .$$ 5. 3.1-5 $r=3$、$p=0.4$ である。$q=0.6$ となる。

$$\begin{aligned}P(Y=2)&=\binom{4}{2}(0.4)^3(0.6)^2=6\times0.064\times0.36=0.13824,\\ E[Y]&=rq/p=3\times0.6/0.4=4.5,\\ V[Y]&=rq/p^2=3\times0.6/0.16=11.25 .\end{aligned}$$ 6. 3.2-1 $\lvert x\rvert f(x)$ は偶関数なので $E\lvert X\rvert =2\int_0^\infty\frac{x}{\pi(1+x^2)}dx$。ここで

$$\int_0^R\frac{2x}{\pi(1+x^2)}dx=\frac1\pi\log(1+R^2)$$

は $R\to\infty$ で発散する。よって $E\lvert X\rvert =\infty$。したがって $E[X]$ は（ルベーグ積分の意味で）定義されない。7. 3.2-2 独立性から

$$P(\min(X_1,X_2)>t)=P(X_1>t)P(X_2>t)=e^{-\lambda_1t}e^{-\lambda_2t}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}$$

で、これは $\mathrm{Ex}(\lambda_1+\lambda_2)$ の裾である。次に $X_1$ の値で条件付けて

$$P(X_1<X_2)=\int_0^\infty\lambda_1e^{-\lambda_1x}P(X_2>x)\,dx=\int_0^\infty\lambda_1e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}dx=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.$$

$\lambda_1=1$、$\lambda_2=3$ なら次のようになる。

$$E[\min]=1/(1+3)=1/4,\qquad P(X_1<X_2)=1/4 .$$ 8. 3.2-3 定理 3.14 (1) で $k=-1$ とする。条件 $-1>-\alpha$ は $\alpha>1$ と同値である。$\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)$ を使って

$$E[1/X]=\beta^{-1}\frac{\Gamma(\alpha-1)}{\Gamma(\alpha)}=\frac{1}{\beta(\alpha-1)}.$$

$\alpha=3$、$\beta=2$ とすると

$$E[1/X]=1/(2\times2)=1/4,\qquad E[X^2]=\beta^2\alpha(\alpha+1)=4\times12=48 .$$

$1/E[X]=1/6$ と $E[1/X]=1/4$ は異なる。これは Jensen の不等式 $E[1/X]\ge1/E[X]$ の例になっている。9. 3.2-4 確率積分変換の後の注意から、$-\log U_i\sim\mathrm{Ex}(1)$（直接には $P(-\log U_i>x)=P(U_i<e^{-x})=e^{-x}$）。例題 3.4 (2) で $\lambda=1$ とすれば $2\sum_{i=1}^n(-\log U_i)\sim\chi^2_{2n}$。

$n=2$ とすると、$U_1U_2\le e^{-3}\iff-2\log(U_1U_2)\ge6$ である。そこで $W\sim\chi^2_4=\mathrm{Ga}(2,2)$ について $P(W\ge6)$ を求める。定理 3.15 を使う。$n=2$、$\lambda=1/2$ とする。さらに $t=6$ とすると

$$P(W\ge6)=P(\mathrm{Po}(3)\le1)=e^{-3}(1+3)=4e^{-3}=0.1991 .$$ 10. 3.2-5 $\mu=0$、$\sigma=1$ を対数正規の公式に入れて

$$E[X]=e^{1/2}=1.6487,\qquad V[X]=e^{1}(e^{1}-1)=4.6708 .$$

中央値 $m$ は $P(X\le m)=P(Y\le\log m)=1/2$ を満たす。よって $\log m=0$、$m=1$。11. 3.3-1 密度 $\theta^{-1}\mathbf 1\{0<x<\theta\}$ の台 $(0,\theta)$ は、母数とともに動く。一方、指数型分布族の台 $\{h(x)>0\}$ は母数によらないから。12. 3.3-2 $a,b\ge0$ について、$\{Y=a,\ X-Y=b\}=\{X=a+b,\ Y=a\}$ なので

$$P(Y=a,\ X-Y=b)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{a+b}}{(a+b)!}\binom{a+b}{a}p^aq^b =e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^a}{a!}\cdot e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^b}{b!}.$$

$e^{-\lambda}=e^{-\lambda p}e^{-\lambda q}$ と $\lambda^{a+b}=\lambda^a\lambda^b$ で分けた。

同時確率関数が、$a$ だけの関数と $b$ だけの関数の積になっている。それぞれの因子は $\mathrm{Po}(\lambda p)$ と $\mathrm{Po}(\lambda q)$ の確率関数である。

よって $Y\sim\mathrm{Po}(\lambda p)$、$X-Y\sim\mathrm{Po}(\lambda q)$ で、両者は独立。$\lambda=4$、$p=0.25$ とする。このとき $P(Y=0)=e^{-1}=0.3679$。13. 3.3-3 $E[X\mid P]=nP$、$V[X\mid P]=nP(1-P)$。(3.23) から $E[P]=a/(a+b)$、$E[P(1-P)]=E[P]-E[P^2]=\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}=\dfrac{ab}{(a+b)(a+b+1)}$。(3.26) から

$$E[X]=\frac{na}{a+b},\qquad V[X]=\frac{nab}{(a+b)(a+b+1)}+\frac{n^2ab}{(a+b)^2(a+b+1)}=\frac{nab(a+b+n)}{(a+b)^2(a+b+1)}.$$

$n=10$、$a=b=2$ とすると

$$E[X]=5,\qquad V[X]=\frac{10\times4\times14}{16\times5}=7 .$$

これは $\mathrm{Bin}(10,0.5)$ の分散 2.5 の 2.8 倍で、$p$ の揺らぎの分だけ大きい。14. 3.3-4 正準形の $\kappa$ は、指数の中の母数だけの項を自然母数で書き直したものである。その項と自然母数は次のとおり。

$$\frac{\mu^2}{2\sigma^2}+\frac12\log(2\pi\sigma^2),\qquad \eta_1=\frac{\mu}{\sigma^2},\quad \eta_2=-\frac{1}{2\sigma^2}.$$

$\sigma^2=-1/(2\eta_2)$、$\mu=\eta_1\sigma^2=-\eta_1/(2\eta_2)$ を代入して

$$\kappa(\eta_1,\eta_2)=-\frac{\eta_1^2}{4\eta_2}+\frac12\log\Bigl(\frac{\pi}{-\eta_2}\Bigr)\qquad(\eta_2<0).$$

$\partial\kappa/\partial\eta_1=-\eta_1/(2\eta_2)=\mu$ なので $E[X]=\mu$。また $\eta_1^2/(4\eta_2^2)=\mu^2$、$-1/(2\eta_2)=\sigma^2$ なので

$$\frac{\partial\kappa}{\partial\eta_2}=\frac{\eta_1^2}{4\eta_2^2}-\frac{1}{2\eta_2}=\mu^2+\sigma^2 .$$

よって $E[X^2]=\mu^2+\sigma^2$。