変数変換

数理統計　第4章 §4.3　★★★ ヤコビアンで新しい変数の同時密度を書き、補助変数を積分で消す。和・差・比・ガンマとベータの関係を導く1級の定番の手続き

ヤコビアンによる変換公式

$(X,Y)$ が同時密度 $f_{X,Y}$ を持つとする。その台を $\mathcal S$ と書く。台から平面の集合 $\mathcal T$ への1対1の写像 $\varphi$ をとり、新しい確率変数を次で作る。

$$(u,v)=\varphi(x,y),\qquad (U,V)=\varphi(X,Y)$$

逆写像を $(x,y)=\psi(u,v)$ と書き、$\psi$ は連続な偏導関数を持つとする。

証明

$\mathcal T$ の任意の部分集合 $B$ をとる。$(U,V)\in B$ と $(X,Y)\in\psi(B)$ は同じ事象である。そこで重積分の変数変換の公式 $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\lvert J\rvert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ を使うと

$$P\bigl((U,V)\in B\bigr)=\iint_{\psi(B)}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\iint_Bf_{X,Y}\bigl(\psi(u,v)\bigr)\lvert J(u,v)\rvert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v .$$

これがすべての $B$ で成り立つので、被積分関数が $(U,V)$ の密度である。

ヤコビアンは逆写像 $\psi$ から計算する。$\psi$ は、元の変数を新しい変数 $u,v$ で書いた式である。

順写像の方が微分しやすいときは、次の手順でもよい（逆関数の微分の2次元版）。

1. $\partial(u,v)/\partial(x,y)$ を計算して逆数をとる。
2. 得た式の $x,y$ を $u,v$ で書き直す。

$n$ 次元でも同じで、$n\times n$ の行列式の絶対値を掛ける。

1つの統計量 $U=g(X,Y)$ の分布だけが欲しいときにも、この公式を使う。変換を1対1にするために補助変数 $V$ を自分で選ぶ。$(U,V)$ の同時密度を書いてから、$V$ を積分で消す。手順を表にしておく。

1対1でない変換もある。たとえば $Y=X^2$ のように、同じ値に複数の点が写る場合である。このときは台を写像が1対1になる部分に分け、それぞれで (4.12) を計算して足し合わせる。

和の分布（たたみ込み）

$X,Y$ は独立で、密度 $f_X,f_Y$ を持つとする。$Z=X+Y$ の密度を求める。補助変数を $W=X$ とすると、逆写像とヤコビアンは次のとおりである。

$$x=w,\quad y=z-w,\qquad J=\det\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}=-1,\quad \lvert J\rvert =1$$

$w$ について積分すれば

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(w)\,f_Y(z-w)\,\mathrm{d} w\tag{4.13}$$

を得る。これを $f_X$ と $f_Y$ のたたみ込みと呼ぶ。離散型では $P(Z=z)=\sum_kP(X=k)P(Y=z-k)$ である。

積分範囲は、$f_X(w)>0$ と $f_Y(z-w)>0$ を同時に満たす範囲に限られる。たとえば $X,Y\sim\mathrm{U}(0,1)$ 独立なら、範囲は次のとおりである。

$$0<w<1\ \text{かつ}\ 0<z-w<1,\qquad\text{すなわち}\quad \max(0,z-1)<w<\min(1,z)$$

よって

$$f_Z(z)=\begin{cases}z & (0<z\le1)\\ 2-z & (1<z<2)\end{cases}\tag{4.14}$$

という三角形の密度になる。図 4.2 は、$P(Z\le z)$ が正方形の中で直線 $x+y=z$ より下の部分の面積であることを示している。

指数分布の和を考える。$X,Y\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ 独立とする。$z>0$ での積分範囲は $0<w<z$ となり

$$f_Z(z)=\int_0^z\lambda\mathrm{e}^{-\lambda w}\,\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(z-w)}\,\mathrm{d} w=\lambda^2z\mathrm{e}^{-\lambda z}\qquad(z>0)$$

となる。これは $\mathrm{Ga}(2,1/\lambda)$ の密度である。確認テスト 4.3-5 でこれを $n$ 個の和へ広げる。

比の分布

$Z=Y/X$ の密度を求める。補助変数を $W=X$ とすると、逆写像とヤコビアンは次のとおりである。

$$x=w,\quad y=zw,\qquad J=\det\begin{pmatrix}0&1\\ w&z\end{pmatrix}=-w$$

これから $Z$ の密度は

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert w\rvert \,f_{X,Y}(w,zw)\,\mathrm{d} w\tag{4.15}$$

となる。絶対値 $\lvert w\rvert$ を書き忘れると、$w<0$ の部分で負の密度を足すことになる。答えが0になる場合さえある。第5章の $t$ 分布と $F$ 分布、2025年 統計数理 問3 の題材（標本相関係数）の密度は、どれもこの形の計算で書く。

ガンマ分布とベータ分布の関係

第3章で定義したガンマ分布とベータ分布の密度を、もう一度書いておく。

$$\begin{aligned}\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)&:\quad \frac{x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\qquad(x>0)\\ \mathrm{Beta}(a,b)&:\quad \frac{v^{a-1}(1-v)^{b-1}}{B(a,b)}\qquad\Bigl(0<v<1,\ B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\Bigr)\end{aligned}$$

この2つの間には、次の例題の関係がある。2変数の変換で、補助変数の選び方・ヤコビアン・台の書き直し・因数分解による独立性の判定をすべて1回ずつ使う問題になっている。

確認テスト

オリジナル

1. 4.3-1 $X,Y\sim\mathrm{N}(0,1)$ 独立とする。和と差を $U=X+Y$、$V=X-Y$ とおく。

   1. ヤコビアンの絶対値を求め、$(U,V)$ の同時密度を書け。
   2. $U$ と $V$ が独立であることを示せ。
   3. どちらも $\mathrm{N}(0,2)$ に従うことを示せ。

2. 4.3-2 $X,Y\sim\mathrm{N}(0,1)$ 独立とし、$Z=Y/X$ とおく。式 (4.15) を使って、$Z$ の密度が次の Cauchy 分布の密度であることを示せ。

$$f_Z(z)=\frac{1}{\pi(1+z^2)}$$

また $P(\lvert Z\rvert \le1)$ を求めよ。3. 4.3-3 $X,Y\sim\mathrm{N}(0,1)$ 独立とし、極座標で $(R,\Theta)$ を定める。

$$X=R\cos\Theta,\quad Y=R\sin\Theta\qquad(R>0,\ 0<\Theta<2\pi)$$

$(R,\Theta)$ の同時密度を求めよ。それを使って、2つが独立であることを示せ。さらに $P(R>2)$ を求めよ。4. 4.3-4 $X,Y\sim\mathrm{U}(0,1)$ 独立とし、$Z=X+Y$ とおく。たたみ込み (4.13) から (4.14) を導き、$P(Z\le1.5)$ を求めよ。5. 4.3-5 $X_1,\dots,X_n\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ 独立とし、$S_n=X_1+\dots+X_n$ とおく。$S_n$ の密度が

$$\frac{\lambda^ns^{n-1}\mathrm{e}^{-\lambda s}}{(n-1)!}\qquad(s>0)$$

であること、すなわち $S_n\sim\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)$ を、たたみ込みと数学的帰納法で示せ。