正規母集団からの代表的な標本分布

まず $n=1$ を変数変換で求める。$Y=Z^2$ とおくと、$y>0$ で

$$P(Y\le y)=P(-\sqrt y\le Z\le\sqrt y)=2\Phi(\sqrt y)-1,$$

ここで $\Phi$ は $\mathrm{N}(0,1)$ の分布関数である。$y$ で微分すると、$\phi$ を標準正規の密度として

$$f_1(y)=2\phi(\sqrt y)\cdot\frac{1}{2\sqrt y}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,y^{-1/2}\mathrm{e}^{-y/2}.$$

$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ なので $\sqrt{2\pi}=\Gamma(1/2)2^{1/2}$ である。よってこれは $\mathrm{Ga}(1/2,2)$ の密度に一致する。積率母関数は (5.1) から $(1-2t)^{-1/2}$。

一般の $n$ では、独立な和の積率母関数 (5.4) から $M_W(t)=(1-2t)^{-n/2}$ となる。これは $\mathrm{Ga}(n/2,2)$ の積率母関数である。よって一意性定理から $W\sim\mathrm{Ga}(n/2,2)$。

密度は $\alpha=n/2$、$\beta=2$ をガンマ分布の密度に入れたものが (5.5) である。平均と分散は $\alpha\beta=n$、$\alpha\beta^2=2n$。

標準化 $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ をする。$Z_1,\dots,Z_n$ は独立に $\mathrm{N}(0,1)$ に従い、次が成り立つ。

$$\bar X=\mu+\sigma\bar Z,\qquad \sum(X_i-\bar X)^2=\sigma^2\sum(Z_i-\bar Z)^2 .$$

したがって $Z$ について示せばよい。

大きさ $n\times n$ の直交行列 $Q$ を1つとる。ただし第1行は $(1/\sqrt n,\dots,1/\sqrt n)$ とする。具体的には Helmert 行列

$$Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt n}&\frac{1}{\sqrt n}&\frac{1}{\sqrt n}&\cdots&\frac{1}{\sqrt n}\\[2pt] \frac{1}{\sqrt{2\cdot1}}&-\frac{1}{\sqrt{2\cdot1}}&0&\cdots&0\\[2pt] \frac{1}{\sqrt{3\cdot2}}&\frac{1}{\sqrt{3\cdot2}}&-\frac{2}{\sqrt{3\cdot2}}&\cdots&0\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}&\cdots&&\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}&-\frac{n-1}{\sqrt{n(n-1)}} \end{pmatrix}$$

がそれである。第 $k$ 行（$k\ge2$）の成分は次のとおりである。

• 最初の $k-1$ 成分は $1/\sqrt{k(k-1)}$。
• 第 $k$ 成分は $-(k-1)/\sqrt{k(k-1)}$。
• 残りは0。

各行の長さが1で、異なる行の内積が0になることは直接計算で確かめられる。

• 第 $k$ 行の成分の和は0なので、第 $k$ 行は第1行と直交する。
• $k<l$ とする。第 $l$ 行の最初の $k$ 成分は等しい。よってこの2行の内積は、第 $k$ 行の成分の和に比例して0になる。

$\bm Y=Q\bm Z$ とおく。$\bm Z\sim\mathrm{N}(\bm 0,I_n)$ なので、第4章の多変量正規分布の線形変換の結果から

$$\bm Y\sim\mathrm{N}(\bm 0,QQ^\top)=\mathrm{N}(\bm 0,I_n)$$

となる。すなわち $Y_1,\dots,Y_n$ は独立に $\mathrm{N}(0,1)$ に従う。第1行の形から $Y_1=\sqrt n\,\bar Z$。また直交変換は長さを保つので $\sum Y_i^2=\sum Z_i^2$ であり、恒等式 (5.3) と合わせて

$$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2=\sum_{i=1}^n Z_i^2-n\bar Z^2=\sum_{i=1}^n Y_i^2-Y_1^2=\sum_{i=2}^n Y_i^2 .$$

左辺は $Y_2,\dots,Y_n$ だけの関数である。一方 $\bar Z=Y_1/\sqrt n$ は $Y_1$ だけの関数である。$Y_1$ と $(Y_2,\dots,Y_n)$ は独立なので (3) が従う。

右辺は独立な $n-1$ 個の標準正規の平方和なので $\chi^2_{n-1}$ に従い (2) が従う。(1) は $Y_1\sim\mathrm{N}(0,1)$ から出る。

$W=w$ で条件付ける。独立性から、条件付けても $Z$ の分布は変わらない。よって $T=Z\sqrt{n/w}$ は $\mathrm{N}(0,n/w)$ に従い、その条件付き密度は

$$\sqrt{\frac wn}\,\phi\Bigl(t\sqrt{\frac wn}\Bigr)$$

である。$W$ の密度 $f_n(w)$ で重みをつけて積分すると

$$f(t)=\int_0^\infty f_n(w)\sqrt{\frac wn}\,\phi\Bigl(t\sqrt{\frac wn}\Bigr)\mathrm{d} w =\frac{1}{\Gamma(n/2)2^{n/2}\sqrt{2\pi n}}\int_0^\infty w^{\frac{n+1}{2}-1}\exp\Bigl\{-\frac w2\Bigl(1+\frac{t^2}{n}\Bigr)\Bigr\}\mathrm{d} w .$$

積分はガンマ関数の形

$$\int_0^\infty w^{a-1}\mathrm{e}^{-bw}\mathrm{d} w=\frac{\Gamma(a)}{b^a}$$

で、$a=(n+1)/2$、$b=(1+t^2/n)/2$ とおけば

$$\Gamma\Bigl(\frac{n+1}{2}\Bigr)2^{\frac{n+1}{2}}\Bigl(1+\frac{t^2}{n}\Bigr)^{-\frac{n+1}{2}}$$

になる。定数をまとめると $2^{(n+1)/2}/(2^{n/2}\sqrt{2\pi n})=1/\sqrt{n\pi}$ なので (5.6) を得る。

$Z=\sqrt n(\bar X-\mu)/\sigma\sim\mathrm{N}(0,1)$、$W=(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ で、定理5.5 から両者は独立。$Z/\sqrt{W/(n-1)}=\sqrt n(\bar X-\mu)/S$ で、$\sigma$ が分母と分子で消える。

$t$ 分布と同じく $V=v$ で条件付ける。このとき $F=nU/(mv)$ である。変数変換 $U=(mv/n)F$ により、条件付き密度は $(mv/n)f_m(mvx/n)$ になる。$V$ について積分すると

$$f(x)=\int_0^\infty\frac{mv}{n}\cdot\frac{(mvx/n)^{m/2-1}\mathrm{e}^{-mvx/(2n)}}{\Gamma(m/2)2^{m/2}}\cdot\frac{v^{n/2-1}\mathrm{e}^{-v/2}}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}\mathrm{d} v =\frac{(m/n)^{m/2}x^{m/2-1}}{\Gamma(\frac m2)\Gamma(\frac n2)2^{(m+n)/2}}\int_0^\infty v^{\frac{m+n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac v2(1+\frac{mx}{n})}\mathrm{d} v .$$

最後の積分は $\Gamma\bigl(\frac{m+n}{2}\bigr)2^{(m+n)/2}(1+mx/n)^{-(m+n)/2}$ で、$2^{(m+n)/2}$ が消えて (5.8) を得る。