この章のまとめと試験での出方

数理統計　第7章 §7.6　★★★ 導出の連鎖として覚える

この章の流れを、節ごとに1行ずつまとめる。

1. 検定の言葉。検定は検定関数 $\varphi$ で表し、検出力関数 $\beta(\theta)=E_\theta[\varphi]$ の帰無仮説上の上限をサイズと呼んだ。サイズを $\alpha$ 以下に抑えたうえで、対立仮説上の検出力を大きくすることが目標である。離散分布では、サイズをちょうど指定の水準にするために確率化が必要になる。
2. 正規母集団。未知の母数を消す形に統計量を直すことで、$t$ 検定・カイ二乗検定・$F$ 検定が得られる。その分布はすべて (7.1) から導ける。
3. 尤度比検定。新しいモデルでは尤度比を作る。既知の分布の統計量に書き直せればそれを使い、書き直せなければ Wilks の定理で $-2\log\Lambda\approx\chi^2_r$ とする。
4. 適合度。Pearson の統計量は多項分布の尤度比検定の2次近似である。自由度は「全体の自由なパラメータ数 − 帰無仮説のもとでの自由なパラメータ数」で決まる。
5. 最良の検定。単純対単純なら、Neyman–Pearson の基本定理で尤度比の大きい側を棄却域にする。片側の複合仮説で MLR があれば、Karlin–Rubin の定理で一様最強力検定が得られる。両側の問題では一様最強力検定は無く、不偏検定の中で最良のものを考える。

統計数理（90分で5問から3問を選ぶ記述式）では、検定論の大問は次のような小問の連鎖で出る。

• 離散分布の単純対単純：「棄却域 $\{X\ge c\}$ のサイズと検出力を表にする → 非確率化検定では指定の水準にならないことを確かめる → 確率化の $\gamma$ を求める → Neyman–Pearson の基本定理で最強力であることを示す → 検出力を計算する」。2025年 統計数理 問4 の題材（二項分布での確率化検定・Neyman–Pearson の基本定理）がこの形である。
• 片側の複合仮説：「同時密度を指数型分布族の形に書く → 十分統計量 $T$ について MLR を示す → 帰無仮説の境界での $T$ の分布（再生性・カイ二乗分布への変換）から棄却限界を求める →検出力関数を書き、必要な標本の大きさを求める」。
• 尤度比検定：「全体と帰無仮説のもとで最尤推定量を求める → 尤度比を整理する → 既知の分布の統計量の単調関数に直す（正規なら $t$ や $F$）か、Wilks の定理で自由度を数えてカイ二乗近似の棄却域を書く」。統計応用でも、2025年 統計応用 問2 の題材（3状態マルコフ連鎖の推移確率の最尤推定）のように、推定のあとに尤度比検定を続ける形がありうる。
• 適合度：「期待度数を書く → $X^2$（または $G^2$）を計算する → 推定したパラメータ数を引いて自由度を数える → 判定する」。$2\times2$ 表の公式の導出もよく問われる。

どの連鎖でも、最初の「尤度（密度）を正しく書く」段で誤ると後の小問の答えもすべて誤るので、指示関数（一様分布の台）や定数項を落とさないことを最初に確かめる。