この章のまとめと試験での出方

数理統計　第10章 §10.6

この章では、推定量を損失関数 $\mathcal L(\theta,d)$ とリスク関数 $R(\theta,\delta)$ で比べる枠組みを作った。リスクは $\theta$ の関数なので一様に最良な推定量は一般に無く、比べ方を4通りに分けた。

1. 不偏推定量に限る。完備十分統計量の関数で不偏なものが、ただ1つの UMVUE になる（Rao–Blackwell・Lehmann–Scheffé）。
2. 同変推定量に限る。位置母数族ではリスクが一定になり、尤度を正規化した平均である Pitman 推定量が最良になる。
3. 事前分布で平均する。事後期待損失を最小にするベイズ推定量が得られ、2乗損失なら事後平均である。
4. 最大リスクで比べる。リスクが一定のベイズ推定量（またはベイズ推定量の極限）がミニマックスになる。

一意なベイズ推定量は許容的である。逆に、3次元以上の正規平均では自然な推定量 $\bm X$ が James–Stein 推定量に優越される。

1級の統計数理（90分で5問から3問を選択）では、この章の道具は次のような小問の連鎖で問われると考えられる。

1. 同時確率関数を書く → 分解定理で十分統計量 $T$ を見つける → $T$ の分布を求め完備性を示す → 簡単な不偏推定量をそれで条件付けて UMVUE を得る → その分散を Cramér–Rao の下界と比べる。
2. 共役事前分布で事後分布を書く → 2乗損失のベイズ推定量（事後平均）を求める → そのリスク関数を計算する → リスクが $\theta$ によらなくなる超母数を選ぶ → ミニマックス性を定理 10.16 で示す。
3. 定数倍の族 $cT$ の MSE を計算する → 最適な $c$ を求める → 不偏推定量が非許容的であることを示す。
4. 位置母数族の尤度を書く → Pitman 推定量を積分で求める → そのリスクを順序統計量の分布から計算し、不偏推定量と比べる。

2025年の統計数理には、この章を主題とする大問は無かった。ただし 2025年 統計数理 問2 の題材（最小値統計量が十分統計量かを尤度の因数分解で判定）は、この章の UMVUE の連鎖の最初の小問と同じ手続きである。答案では、使う定理（Rao–Blackwell、Lehmann–Scheffé、ベイズ推定量の特徴付け）の名前と仮定を書き、完備性や不偏性の確認を省かないことが部分点の条件になる。