この章のまとめと試験での出方

数理統計　第12章 §12.6

この章では、時刻とともに並ぶ確率変数を5つの模型で扱った。ベルヌーイ過程とポアソン過程からは、二項分布と幾何分布、ポアソン分布と指数分布・ガンマ分布が、それぞれ「ある時間内の回数」と「事象までの待ち時間」の関係として対になって現れた。その要は $\{T_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}$ という事象の同一視で、これを微分すればガンマ分布の密度が出る。条件付き一様性は、ポアソン過程の到着時刻の問題を一様分布の順序統計量の問題に移す。

ほかの4つの模型で扱ったことは次のとおりである。

• ランダム・ウォーク：最初の1歩で場合を分けて差分方程式を立てる第一歩解析と、経路を折り返して数える鏡像原理を作った。
• マルチンゲール：任意抽出定理は、同じ破産問題を「止めた時点での期待値は出発時と同じ」という1行の式で解き直す。尤度比の列がマルチンゲールであることから、逐次検定の第1種の誤りの確率を抑える最大不等式を導いた。
• ブラウン運動：ランダム・ウォークの極限として、共分散 $\min(s,t)$ のガウス過程として、また鏡像原理の連続版として扱った。
• マルコフ連鎖：推移確率行列の累乗・定常分布・極限定理・第一歩解析による到達時間を扱った。統計の側からは、推移の回数による最尤推定と、独立性の尤度比検定を導いた。

1級の統計数理と統計応用では、確率過程の問題は次の小問の連鎖で出ることが多い。

• ポアソン過程：$P(N(t)=k)$ を求める → 到着間隔が指数分布であることを示す → 到着時刻のガンマ分布の密度を導く → 強度の最尤推定量と Fisher 情報量 → 信頼区間。
• マルコフ連鎖（2025年 統計応用 問2 の題材＝3状態マルコフ連鎖と推移確率の最尤推定）：経路の確率を推移確率の積で書く → 尤度を推移の回数で表す→ Lagrange 乗数で $\hat p_{ij}=n_{ij}/n_{i\cdot}$ を導く → 定常分布を求める → 独立性（または特定の推移確率の値）の尤度比検定で $G^2$ と自由度を求める。
• ランダム・ウォーク：$S_n$ の分布を二項分布から書く → 第一歩解析の差分方程式を立てて解く → 鏡像原理で最大値の分布を求める。

答案では、どの性質（独立増分・マルコフ性・停止時刻であること）を使って式を立てたかを1文書いてから計算に入ると、部分点の対象がはっきりする。

マルコフ連鎖の尤度では、初期状態 $x_0$ の確率を条件付けで外していることを書く。推移の回数の数え方（$n$ 時点の観測なら推移は $n-1$ 回）も誤らないようにする。