$\sqrt{2}$ が有理数でないことの証明

$\sqrt{2}$が有理数であると仮定してみる。

まず、$1<2<4$、つまり$1^2<\sqrt{2}^2<2^2$より$1<\sqrt{2}<2$（$\because \text{定義より}\sqrt{2}>0$）で、$1$と$2$の間に整数はないから$\sqrt{2}$は整数でない。

$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると、定義と上の議論より$\sqrt{2}$は整数でない正数なので、二つの互いに素な²22つの自然数が「互いに素」であるとは、両者の公約数が $1$ だけであることを言います。下の脚注へ閉じる$N$（：自然数）と$M$（：$2$以上の自然数）によって

$$\begin{aligned}&\sqrt{2}=\dfrac{N}{M}\end{aligned}$$

と表せる。両辺を二乗すると、

$$\begin{aligned}2=\dfrac{N^2}{M^2}\cdots\text{①}\end{aligned}$$

となる。①をみると、左辺は整数なので右辺も整数でなくてはならない。つまり右辺は約分して分母が$1$にならなくてはならない。しかし、$N$と$M$が互いに素だったので$N^2$と$M^2$も互いに素³3$N^2$ と $M^2$ に共通の素因数があれば、それは $N$ と $M$ の両方の素因数でもあるので、互いに素という仮定に反するからです。下の脚注へ閉じるだから右辺は既約分数であり、かつ$2\leqq M$より$4\leqq M^2$なので右辺の分母は$4$以上となる。よって矛盾してしまうので元々の仮定である「$\sqrt{2}$が有理数である」というのが誤りであると言える。

背理法を用いて示す。つまり、$\sqrt{2}$が有理数であると仮定して矛盾を導く。

$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると、定義より$\sqrt{2}$は正数なので、二つの自然数$N$と$M$によって

$$\begin{aligned}&\sqrt{2}=\dfrac{N}{M}\end{aligned}$$

と表せる。両辺を二乗すると、

$$\begin{aligned}2=\dfrac{N^2}{M^2}\Leftrightarrow 2\times M^2 = N^2\cdots\text{①}\end{aligned}$$

となる。今、$N$と$M$は自然数なので素因数分解ができて、この素因数「$2$」の個数がそれぞれ$n$個と$m$個（$n$、$m$はそれぞれ$0$以上の整数）だったとすると、$N^2$と$M^2$の素因数「$2$」の個数はそれぞれ$2n$個と$2m$個となる。

今、①の式を見ると、先の議論から左辺の素因数「$2$」の個数は$2m+1$個、右辺は$2n$個となる⁴4素因数分解がただ1通りに決まるので、①の両辺で素因数「$2$」の個数は等しくなければなりません。たとえば $M=4$ なら $m=2$ で、$2\times 4^2=32=2^5$ の素因数「$2$」は $2m+1=5$ 個です。下の脚注へ閉じるから、

$$\begin{aligned}&2m+1=2n\Leftrightarrow 2(n-m)=1\cdots\text{②}\end{aligned}$$

となる。②において左辺は偶数（$\because n$、$m$はそれぞれ整数より$n-m$も整数）だが、右辺の$1$は奇数より矛盾。

よって背理法より、$\sqrt{2}$は有理数でないことが示された。□