この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第1章 §1.5

この章では、点と座標を分けて考えることから始めた。座標の取り替えは $\mathbb{R}^n$ の開集合のあいだの写像であり、その Jacobi 行列は各点の近くでの線形近似である。Jacobi 行列式の絶対値は体積の倍率、符号は向きを保つかどうかを表す。逆関数定理 1.3 は、Jacobi 行列式が0でない点の近くで座標を取り替えてよいことを保証し、その主張はあくまで局所的である。

球面のようなコンパクトな空間は1枚の座標で覆えない（定理 1.6）。そこで、何枚かのチャートで覆い、重なりの座標変換が滑らかであることを要求して、多様体を定義した。立体射影の2枚のチャートは球面のアトラスの例で、その座標変換は $\tilde w=1/w$ の形に書ける。

物理の系の配位空間は多様体である。振り子は円、二重振り子はトーラス、剛体の向きは $SO(3)$ で、一般化座標はそのチャートにあたる。熱力学の $(S,V)$ と $(T,V)$ は、同じ状態空間の2枚のチャートである。その座標変換の Jacobi 行列式は $T/C_V$ である。

最後に、陰関数定理 1.9 から正則値定理 1.12 を導いた。拘束条件の行列の階数が拘束の個数に等しければ、拘束系の配位空間は多様体になり、その次元は自由度の数である。

第2章では、多様体の上の曲線の速度として接ベクトルを定義する。接ベクトルの成分は、座標を取り替えると Jacobi 行列で変換される。この章の (1.5) と (1.6) は、その変換則と、熱力学の偏微分の添字の意味を読むときに使う。