確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第1章 §1.6

1. 1.1-1 Jacobi 行列と行列式は次のとおりである。

$$J=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \det J=-1-1=-2$$

単位正方形の像は、ベクトル $(1,1)$ と $(1,-1)$ が張る正方形である。その面積は $\left\vert \det J\right\vert =2$ である。行列式が負なので向きは逆になる（図 1.2 の右）。2. 1.1-2 球座標の Jacobi 行列を第3行 $(\cos\theta,\,-r\sin\theta,\,0)$ で余因子展開する。

$$\det J=\cos\theta\begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi\\ r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi\end{vmatrix} +r\sin\theta\begin{vmatrix}\sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi\end{vmatrix}$$

第1の小行列式は $r^2\sin\theta\cos\theta$、第2の小行列式は $r\sin^2\theta$ である。したがって $\det J=r^2\sin\theta\cos^2\theta+r^2\sin^3\theta=r^2\sin\theta$ となる。

球の体積は、変数変換の公式から次のように求まる。

$$\int_0^R r^2\,\mathrm{d} r\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=\frac{R^3}{3}\cdot2\cdot2\pi=\frac43\pi R^3$$ 3. 1.1-3 偏微分は次のようになる。

$$J=a\begin{pmatrix}\sinh\mu\cos\nu & -\cosh\mu\sin\nu\\ \cosh\mu\sin\nu & \sinh\mu\cos\nu\end{pmatrix}$$

行列式は $a^2(\sinh^2\mu\cos^2\nu+\cosh^2\mu\sin^2\nu)$ である。$\cosh^2\mu=1+\sinh^2\mu$ を使うと、次の形に整理できる。

$$\det J=a^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)$$

行列式が0になる条件は、$\sinh\mu=0$ かつ $\sin\nu=0$ である。すなわち $\mu=0$ で、しかも $\nu\in\{0,\pi\}$ のときである。これは $xy$ 平面の2点 $(\pm a,0)$ にあたり、楕円座標の楕円の焦点である。4. 1.1-4 $G=F^{-1}$ とおくと、$G\circ F$ は恒等写像である。連鎖律から $J_G(F(u))\,J_F(u)=I$ が成り立つ。両辺の行列式をとると $\det J_G(F(u))\cdot\det J_F(u)=1$ となり、逆写像の Jacobi 行列式はもとの逆数である。

極座標では $\det\partial(x,y)/\partial(r,\theta)=r$ なので、次のようになる。

$$\frac{\partial(r,\theta)}{\partial(x,y)}=\frac1r=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

直接の計算でも確かめられる。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ と $\theta=\arctan(y/x)$ の偏微分を並べると、次のようになる。

$$\det\begin{pmatrix}x/r & y/r\\ -y/r^2 & x/r^2\end{pmatrix}=\frac{x^2+y^2}{r^3}=\frac1r$$ 5. 1.2-1 重なりは、円から2点 $(\pm1,0)$ を除いた集合である。これは上半分 $y>0$ と下半分 $y<0$ の2つの部分からなる。座標変換は次のようになる。

$$\theta'=\theta\quad(y>0,\ 0<\theta<\pi),\qquad \theta'=\theta+2\pi\quad(y<0,\ -\pi<\theta<0)$$

どちらの部分でも座標変換は滑らかで、導関数は1である。重なりが2つに分かれるため、1つの式で書けないことに注意する。6. 1.2-2 $\rho=u$ として球面の場合と同じ計算をすると、$u^2=(1+y)/(1-y)$ から逆写像は次のようになる。

$$(x,y)=\left(\frac{2u}{u^2+1},\ \frac{u^2-1}{u^2+1}\right)$$

重なり（$y\neq\pm1$）では、$x^2=1-y^2$ を使って次が成り立つ。

$$uu'=\frac{x^2}{(1-y)(1+y)}=\frac{x^2}{1-y^2}=1$$

したがって $u'=1/u$ で、その導関数は $-1/u^2$ である。$u=0$ は南極にあたり、重なりに含まれない。7. 1.2-3 上半分のチャートの逆写像は $(x,y)\mapsto(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$ なので、座標変換は次のようになる。

$$\phi_2\circ\phi_1^{-1}(x,y)=\bigl(y,\ z\bigr),\qquad z=\sqrt{1-x^2-y^2}$$

$\partial z/\partial x=-x/z$ と $\partial z/\partial y=-y/z$ から、Jacobi 行列式は

$$\det\begin{pmatrix}0&1\\ -x/z & -y/z\end{pmatrix}=0\cdot\left(-\frac yz\right)-1\cdot\left(-\frac xz\right)=\frac xz$$

となる。重なりでは $x>0$ かつ $z>0$ なので正であり、2つのチャートは同じ向きである。8. 1.2-4 このトーラスは、$(\theta,\varphi)\in[0,2\pi]^2$ から $\mathbb{R}^3$ への連続写像

$$\bigl((2+\cos\theta)\cos\varphi,\ (2+\cos\theta)\sin\varphi,\ \sin\theta\bigr)$$

の像である。コンパクトな正方形の連続写像による像なので、トーラスはコンパクトである。1枚のチャート $\phi$ で覆えたとすると、その像は $\mathbb{R}^2$ の空でない開集合で、しかもコンパクト（有界な閉集合）になる。定理 1.6 の証明と同じく、$\mathbb{R}^2$ の連結性からこれは $\mathbb{R}^2$ 全体となり、有界であることに反する。9. 1.3-1 次のとおりである。

• (a) 球面 $S^2$ で、2次元。
• (b) 3つの角がそれぞれ円の点なので $T^3=S^1\times S^1\times S^1$ で、3次元。
• (c) 一方の質点の位置と、もう一方への向きの直積 $\mathbb{R}^3\times S^2$ で、5次元。
• (d) 重心の位置と向きの直積 $\mathbb{R}^3\times SO(3)$ で、6次元。

どれも、質点の座標の個数から独立な拘束の個数を引いた数に一致する。10. 1.3-2 $R_x(0)=I$ なので、$\theta=0$ では次のようになる。

$$R(\varphi,0,\psi)=R_z(\varphi)R_z(\psi)=R_z(\varphi+\psi)$$

$z$ 軸のまわりの回転を2回続けると、角が足される。したがって $\theta=0$ では、第1の角を増やして第3の角を同じだけ減らしても、回転は変わらない。これは、方向 $(1,0,-1)$ への微分 $\partial R/\partial\varphi-\partial R/\partial\psi$ が0であることを意味する。

Jacobi 行列は、$R$ の9成分を3つの角で偏微分した $9\times3$ 行列である。その第1列と第3列が等しいので、階数は3より小さい。第2列 $\partial R/\partial\theta$ は第1軸のまわりの回転を表し、第1列とは独立なので、$\theta=0$ での階数はちょうど2になる。11. 1.3-3 Jacobi 行列式の連鎖律から、$(T,V)$ を間にはさんで次のように書ける。

$$\frac{\partial(T,P)}{\partial(S,V)}=\frac{\partial(T,P)}{\partial(T,V)}\cdot\frac{\partial(T,V)}{\partial(S,V)}=\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\cdot\frac{T}{C_V}$$

理想気体では $P=nRT/V$ から $(\partial P/\partial V)_T=-P/V$ である。したがって $\partial(T,P)/\partial(S,V)=-TP/(C_VV)$ となる。これは0にならないので、$(T,P)$ も理想気体の状態空間のチャートになる（行列式が負なので、$(S,V)$ とは逆の向きである）。12. 1.3-4 座標変換 $(S,V)\mapsto(U(S,V),V)$ の Jacobi 行列式は、(1.13) と同じく次のようになる。

$$\frac{\partial(U,V)}{\partial(S,V)}=\det\begin{pmatrix}(\partial U/\partial S)_V & (\partial U/\partial V)_S\\ 0&1\end{pmatrix}=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T$$

温度が正の範囲では行列式は0にならない。逆関数定理により、各点の近くで $(U,V)$ は $(S,V)$ と滑らかに取り替えられるチャートになる。向きも $(S,V)$ と同じである。13. 1.4-1 $J_F=(2x,\,2y,\,-2z)$ が0になるのは原点だけで、$F(0,0,0)=0$ である。したがって0以外の $c$ はすべて正則値である。$c>0$ の等高面は一葉双曲面、$c<0$ の等高面は二葉双曲面である。 $c=0$ の円錐 $C$ が原点の近くで2次元多様体だと仮定する。すると、原点を含む開集合 $W\subset C$ と、$W$ から開円板への同相写像で原点を中心に写すものがとれる。円板から中心を除いた集合は連結（弧状連結）なので、$W$ から原点を除いた集合も連結でなければならない。ところが、原点を除いた $W$ は、上の部分と下の部分（$z$ の符号で分ける）に分かれる。2つの部分は互いに交わらない空でない開集合なので、連結性に反する。したがって円錐は原点の近くで多様体でない。14. 1.4-2 $F(x,y)=x^2+xy+y^2$ とおくと、偏導関数は $F_x=2x+y,\ F_y=x+2y$ である。点 $(1,1)$ では $F_y=3\neq0$ なので、陰関数定理が使える。(1.14) から次を得る。

$$g'(1)=-\frac{F_x(1,1)}{F_y(1,1)}=-\frac{3}{3}=-1$$

$F_y=0$ となる点、すなわち直線 $x=-2y$ の上の点では、陰関数定理が使えない。これを曲線の式に入れると $4y^2-2y^2+y^2=3y^2=3$ から $y=\pm1$ となる。点は $(-2,1)$ と $(2,-1)$ の2つである。そこでは $F_x\neq0$ で接線が縦になるので、実際に $x$ の関数として書けない。15. 1.4-3 $\bm r=\bm x_1-\bm x_2$ とおくと $F=\left\vert \bm r\right\vert ^2$ である。2つの位置による偏微分を並べると、次のようになる。

$$J_F=\bigl(2\bm r^{\mathsf T},\ -2\bm r^{\mathsf T}\bigr)$$

拘束面の上では $\left\vert \bm r\right\vert =l>0$ なので $J_F\neq0$ で、階数は1である。したがって $l^2$ は正則値で、配位空間は $6-1=5$ 次元の部分多様体になる。16. 1.4-4 写像 $F(x,y)=y-g(x)$ を考えると、グラフはちょうど $F^{-1}(0)$ である。$F$ の Jacobi 行列は次のブロックの形になる。

$$J_F=\bigl(-\partial g/\partial x,\ I_k\bigr)$$

右側に単位行列 $I_k$ があるので、階数はどの点でも $k$ である。したがって0は正則値で、正則値定理からグラフは $(m+k)-k=m$ 次元の部分多様体である。