鏡像法（平面・球）

電磁気学入門　第3章 §3.3　★★ 導体を仮想の電荷に置き換え、境界条件を満たす解を1つ作って一意性定理で答えとする

考え方

接地した導体の近くに点電荷 $q$ を置くと、導体の表面に電荷が誘導され、その分布は前もって分からない。鏡像法では、導体を取り去り、代わりに求めたい領域の外に仮想の点電荷（鏡像電荷）を置いて、元の導体の表面にあたる場所で電位が条件どおりになるように鏡像電荷の大きさと位置を選ぶ。

求めたい領域の中では、電荷の分布は元の問題と同じ（$q$ だけ）で、境界の電位も同じなので、一意性定理により、作った電位は元の問題の解と領域の中で一致する。鏡像電荷を領域の外に置くことが要点である。領域の中に置くと Poisson 方程式の右辺が変わり、別の問題の解になってしまう。

接地した平面

接地した無限に広い導体の平面 $z=0$ を考える。その上の点 $(0,0,d)$ に点電荷 $q$ を置く。求める領域は $z>0$ である。鏡像電荷 $-q$ を平面に対して対称な点 $(0,0,-d)$ に置くと、

$$\phi(x,y,z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}\right]\tag{3.10}$$

は $z=0$ で2つの項が打ち消してゼロになり、無限遠でもゼロになる。$z>0$ の中の電荷は $q$ だけである。よって (3.10) が $z>0$ での電位である。

$z<0$ は導体の中で、そこでは $\phi=0$ である。鏡像電荷は $z<0$ の電位を表すものではない。

接地した球

半径 $a$ の接地した導体球の中心を原点とする。球の外の点 $\bm b=b\hat{\bm z}\ (b>a)$ に点電荷 $q$ を置く。対称性から、鏡像電荷 $q'$ は $z$ 軸上の球の中に置けばよいと見当をつける。その位置を $b'\hat{\bm z}\ (0<b'<a)$ と書く。

証明

球面上の点 $\bm r=a\hat{\bm n}$ をとる。この点の向きが $z$ 軸となす角を $\theta$ とする。余弦定理から

$$\left\vert \bm r-\bm b\right\vert ^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta,\qquad \left\vert \bm r-b'\hat{\bm z}\right\vert ^2=a^2+\frac{a^4}{b^2}-2\frac{a^3}{b}\cos\theta=\frac{a^2}{b^2}\left(b^2+a^2-2ab\cos\theta\right)$$

となる。よって $\left\vert \bm r-b'\hat{\bm z}\right\vert =\dfrac ab\left\vert \bm r-\bm b\right\vert$ であり、

$$\frac{q}{\left\vert \bm r-\bm b\right\vert }+\frac{q'}{\left\vert \bm r-b'\hat{\bm z}\right\vert }=\frac{q}{\left\vert \bm r-\bm b\right\vert }-\frac{(a/b)q}{(a/b)\left\vert \bm r-\bm b\right\vert }=0.$$

球面上のすべての点で電位がゼロになる。

球の外の領域 $r>a$ には点電荷 $q$ だけがある。境界 $r=a$ と無限遠で電位はゼロなので、一意性定理によりこれが答えである。

球に誘導される電荷の総量は、外の電場を球面で積分すれば求まる。もっと簡単には、遠方の電位の振る舞い

$$\phi\simeq\frac{q+q'}{4\pi\varepsilon_0r}$$

から読み取れる。球の外の電荷 $q$ を除くと、遠方の電位の $1/r$ の係数は球の上の全電荷を表す。よって球の上の誘導電荷の総量は $q'=-qa/b$ に等しい。

極限を確かめておく。

• $b\to a$（電荷が球面に接する）では $q'\to-q$ となる。平面の鏡像と同じである。
• $b\to\infty$（電荷が遠ざかる）では $q'\to0$ となり、誘導電荷は消える。

確認テスト

オリジナル

1. 3.3-1 鏡像電荷を、電位を求めたい領域の中に置いてはいけない理由を1文で説明せよ。
2. 3.3-2 金属の表面から距離 $d=1.0\,\mathrm{nm}$ の点にある電子を考える。金属の表面を接地した平面導体とみなし、電子を無限遠からこの位置まで運ぶときのエネルギーの変化（例題 3.4 の $W_{\text{外}}$）を $\mathrm{eV}$ で求めよ。素電荷は $e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C$ とする。
3. 3.3-3 半径 $a$ の中性の孤立した導体球がある。球の中心から距離 $b\,(>a)$ の点に点電荷 $q$ がある。点電荷が受ける力を求めよ。また、$b\gg a$ では大きさが $\dfrac{2q^2a^3}{4\pi\varepsilon_0b^5}$ の引力に近づくことを示せ。
4. 3.3-4 2枚の接地した半無限の導体の平面 $x=0\ (y>0)$ と $y=0\ (x>0)$ が直角に交わる。その間の領域 $x>0,\,y>0$ にある点 $(x_0,y_0,0)$ に点電荷を置く。電荷の大きさは $q$ とする。鏡像電荷の大きさと位置を求め、2枚の平面の上で電位がゼロになることを示せ。