磁気回路

電磁気学入門　第6章 §6.4　★ 鉄心の磁束は、起磁力 $NI$ を磁気抵抗の和で割って求まる

磁気回路の考え方

変圧器・モーター・電磁石では、コイルを鉄心に巻き、鉄心の中に磁束を通す。§6.2 で見たように、透磁率の大きな物質の表面では、磁束線は空気側へほぼ垂直に出るか、鉄の中で表面に沿って進む。鉄心の透磁率が十分大きければ、磁束はほとんど鉄心の中を通り、導線の中を流れる電流のように鉄心に沿って流れる。この近似のもとで、磁束の計算を電気回路と同じ形に書き直す。

図 6.4 の環状の鉄心を考える。鉄心の断面積を $A$、平均の長さを $\ell$ とする。透磁率は $\mu$ である。

鉄心には幅 $g$ の空隙（エアギャップ）がある。鉄心に導線を $N$ 回巻いて電流 $I$ を流す。鉄心の中の磁束を $\Phi=\int\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$ とする。

磁束の経路に沿って物質中の Ampère の法則 (6.11) を使う。経路は $N$ 本の導線を貫くので

$$\oint\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=H_{\mathrm i}\ell+H_{\mathrm g}g=NI$$

である。$H_{\mathrm i}$ は鉄心の中の磁場、$H_{\mathrm g}$ は空隙の中の磁場である。一方、$\nabla\cdot\bm{B}=0$ から、磁束が鉄心の外へ漏れなければ、どの断面を通る磁束も同じ $\Phi$ である。

空隙の幅が断面の寸法より十分小さければ、空隙の中の磁束も広がらず、同じ断面積を通る（境界に垂直な $B_n$ の連続）。したがって

$$B_{\mathrm i}=B_{\mathrm g}=\frac{\Phi}{A},\qquad H_{\mathrm i}=\frac{\Phi}{\mu A},\qquad H_{\mathrm g}=\frac{\Phi}{\mu_0A}$$

で

$$\Phi\Bigl(\frac{\ell}{\mu A}+\frac{g}{\mu_0A}\Bigr)=NI\tag{6.27}$$

を得る。

この言葉で (6.27) を書き直すと

$$\mathcal F=\Phi(\mathcal R_{\mathrm i}+\mathcal R_{\mathrm g})$$

となり、電気回路の Ohm の法則 $V=I(R_1+R_2)$ と同じ形になる。起磁力が起電力に、磁束が電流に、磁気抵抗が電気抵抗に対応する。一般の磁気回路では、次の2つの法則が Kirchhoff の法則の役をする。

• 磁路の分岐点では、流れ込む磁束の和が 0（$\nabla\cdot\bm{B}=0$ を分岐点を囲む閉曲面で積分したもの）。
• 閉じた磁路を1周すると、各区間の $\Phi\mathcal R$ の和が、その磁路が囲む起磁力に等しい（(6.11) を閉じた磁路で積分したもの）。

これらから、磁気抵抗の直列は和、並列は逆数の和で合成でき、電気回路と同じ計算で磁束が求まる。

確認テスト

オリジナル

1. 6.4-1 磁気抵抗の単位 $\mathrm{A/Wb}$ が $1/\mathrm H$（ヘンリーの逆数）に等しいことを示せ。また、起磁力・磁束・磁気抵抗が電気回路のどの量に対応するかを述べよ。
2. 6.4-2 「日」の字形の鉄心の中央の脚に、コイル（起磁力 $300\,\mathrm A$）を巻く。中央の脚の磁気抵抗は $1.0\times10^{5}\,\mathrm{A/Wb}$ である。左右の脚（上下の横棒を含む）の磁気抵抗は、$2.0\times10^{5}\,\mathrm{A/Wb}$ と $6.0\times10^{5}\,\mathrm{A/Wb}$ である。中央の脚と左右の脚を通る磁束を求めよ。
3. 6.4-3 電磁石の2つの磁極面（面積の合計 $2.0\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$）に鉄板が密着している。磁極面の磁束密度は 1.0 T である。第7章 §7.3 で導く磁場のエネルギー密度 $B^2/(2\mu_0)$ を借り、鉄板をわずかに引き離す仮想仕事から吸引力を求めよ。
4. 6.4-4 例題 6.7 の空隙の磁束密度が、透磁率が無限大のときの値 $\mu_0NI/g$ の $1/(1+\ell/(\mu_{\mathrm r}g))$ 倍であることを示せ。また、数値で確かめよ。