確認テストの解答

確率論入門　第4章 §4.6

4.1 の解答

1. 4.1-1 $B\subset A$ なら $A\cap B=B$ である。よって $P(A\mid B)=P(B)/P(B)=1$ である。また $B=(A\cap B)\cup(A^c\cap B)$ は互いに素な和だから、次が成り立つ。

$$P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$$

両辺を $P(B)$ で割ると、$P(A^c\mid B)=1-P(A\mid B)$ を得る。（命題 4.2 により $P(\cdot\mid B)$ は確率測度なので、補集合の公式としても得られる。）2. 4.1-2 標本空間は36通りの目の組で、どれも確率 $1/36$ である。

• (a) 和が8の組は次の5通りである。

$$(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2)$$

そのうち6を含むのは $(2,6)$ と $(6,2)$ の2通りである。よって求める確率は次のとおりである。

$$\frac{2/36}{5/36}=\frac25$$

• (b) 少なくとも一方が6の組は、$36-25=11$ 通りである。そのうち和が8のものは同じ2通りなので、次のとおりである。

$$\frac{2/36}{11/36}=\frac{2}{11}$$

共通部分の確率 $2/36$ は同じでも、条件の事象の確率が違うので答えは異なる。3. 4.1-3 ライン $i$ で作られる事象を $L_i$ とする。不良品の事象を $D$ とする。全確率の公式から次を得る。

$$P(D)=0.5\times0.01+0.3\times0.02+0.2\times0.05=0.005+0.006+0.010=0.021.$$

Bayes の定理から $P(L_3\mid D)=\dfrac{0.010}{0.021}=\dfrac{10}{21}\approx0.476$ である。ライン3の生産の割合は20%にすぎないが、不良率が高いので不良品の半分近くを占める。4. 4.1-4 定義から

$$\begin{aligned}P(A\mid B)>P(A)&\iff\frac{P(A\cap B)}{P(B)}>P(A)\iff P(A\cap B)>P(A)P(B)\\ &\iff\frac{P(A\cap B)}{P(A)}>P(B)\iff P(B\mid A)>P(B).\end{aligned}$$

2番目と3番目の同値では、正の数 $P(B)$、$P(A)$ を掛けたり割ったりしても不等号の向きが変わらないことを使った。中央の条件 $P(A\cap B)>P(A)P(B)$ が $A,B$ について対称なので、両端が同値になる。

4.2 の解答

1. 4.2-1 確率の値で2つに分ける。

   • $P(A)=0$ のとき。$A\cap B\subset A$ から次が成り立つ。

$$0\le P(A\cap B)\le P(A)=0,\qquad P(A\cap B)=0=P(A)P(B).$$

• $P(A)=1$ のとき。補集合の確率は0なので、前半から $A^c$ と $B$ は独立である。§4.2 の冒頭で示したように、補集合をとっても独立は保たれる。よって $A=(A^c)^c$ と $B$ も独立である。

直接には、$P(A^c\cap B)\le P(A^c)=0$ から次のようにしてもよい。

$$P(A\cap B)=P(B)-P(A^c\cap B)=P(B)=P(A)P(B)$$ 2. 4.2-2 各事象の確率は次のとおりである。

$$P(A)=\tfrac12,\qquad P(B)=\tfrac23,\qquad P(C)=\tfrac12.$$

• $A$ と $B$ は独立。$A\cap B=\{2,4\}$ で、$P(A\cap B)=\frac13=\frac12\cdot\frac23$ となる。
• $A$ と $C$ は独立でない。$A\cap C=\{2\}$ で、$P(A\cap C)=\frac16\ne\frac14=P(A)P(C)$ となる。

$B$ は偶数と奇数を2つずつ含むので、それが起きたと分かっても偶数の割合は $\frac12$ のまま変わらない。$C$ は奇数を2つ含むので、偶数の割合が $\frac13$ に下がる。3. 4.2-3 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$ である。$A\cap B=A\cap C=B\cap C=\{1\}$ で確率はどれも $\frac14=\frac12\cdot\frac12$ だから、どの2つも独立である。一方 $A\cap B\cap C=\{1\}$ で $P(A\cap B\cap C)=\frac14\ne\frac18=P(A)P(B)P(C)$ だから、相互独立でない。4. 4.2-4 事象が自分自身と独立なら、次が成り立つ。

$$P(A)=P(A\cap A)=P(A)^2,\qquad\text{すなわち}\qquad P(A)\bigl(1-P(A)\bigr)=0.$$

よって $P(A)$ は 0 または 1 である。5. 4.2-5 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$ である。$A\cap B\cap C=\{1\}$ で $P(A\cap B\cap C)=\frac18=\left(\frac12\right)^3$ が成り立つ。ところが $A\cap B=\{1,2,3,4\}$ で、$P(A\cap B)=\frac12\ne\frac14=P(A)P(B)$ である。2個の部分族 $\{A,B\}$ について (4.8) が成り立たないので、3つの事象は独立でない。全体の等式だけでは独立にならないことを示す例である。

4.3 の解答

1. 4.3-1 $y$ を固定し、第1変数を減少列 $x_k=-k$ に沿って動かす。次の事象は $k$ について減少し、その共通部分は空集合である。

$$\{X\le -k,\ Y\le y\}$$

どの点でも $X(\omega)$ は実数なので、十分大きな番号で $X(\omega)>-k$ となるからである。連続性 (4.1) から $F(-k,y)\to P(\emptyset)=0$ である。$F$ は第1変数について単調非減少なので、整数でない値で $-\infty$ へ送っても同じ極限 0 をとる。2. 4.3-2 周辺確率関数は和をとって

$$\begin{aligned}&P(X=0)=0.1+0.3=0.4,\qquad P(X=1)=0.2+0.4=0.6,\\ &P(Y=0)=0.1+0.2=0.3,\qquad P(Y=1)=0.3+0.4=0.7\end{aligned}$$

である。$P(X=0)P(Y=0)=0.12\ne0.1=p(0,0)$ なので、(4.12) が成り立たず、$X,Y$ は独立でない。$P(X=1\mid Y=1)=\dfrac{0.4}{0.7}=\dfrac47\approx0.571$ で、$P(X=1)=0.6$ と異なる。なお、同じ周辺分布を持つ独立な組の同時確率関数は次のとおりである。

$$p(0,0)=0.12,\quad p(0,1)=0.28,\quad p(1,0)=0.18,\quad p(1,1)=0.42.$$

周辺分布が同じでも同時分布は異なり得ることが、この比較から分かる。3. 4.3-3 密度は $f(x,y)=2\mathrm{e}^{-2x}\cdot3\mathrm{e}^{-3y}$ で、台 $\{x>0,y>0\}$ は長方形（象限）である。よって全平面で次の積に分かれる。

$$f(x,y)=g(x)h(y),\qquad g(x)=2\mathrm{e}^{-2x}\mathbf 1_{x>0},\qquad h(y)=3\mathrm{e}^{-3y}\mathbf 1_{y>0}.$$

$g$ と $h$ はどちらも積分が1なので、周辺密度はこの2つそのものである。つまり $X\sim\mathrm{Ex}(2)$ と $Y\sim\mathrm{Ex}(3)$ で、2つは独立である。

$$P(Y<X)=\int_0^\infty2\mathrm{e}^{-2x}\Bigl(\int_0^x3\mathrm{e}^{-3y}\,\mathrm{d} y\Bigr)\mathrm{d} x=\int_0^\infty2\mathrm{e}^{-2x}\bigl(1-\mathrm{e}^{-3x}\bigr)\mathrm{d} x=1-\frac25=\frac35.$$

例題 4.5 (2) で $Y$ を先に置いた形 $\frac{3}{2+3}$ と一致する。4. 4.3-4 周辺密度は次のとおりである。

$$f_X(x)=\int_0^x2\,\mathrm{d} y=2x\quad(0<x<1),\qquad f_Y(y)=\int_y^12\,\mathrm{d} x=2(1-y)\quad(0<y<1).$$

点 $(0.2,0.8)$ の近くは三角形の外なので $f=0$ だが、周辺密度の積は正である。

$$f_X(0.2)f_Y(0.8)=0.4\times0.4=0.16>0$$

正の面積を持つ領域で $f\ne f_Xf_Y$ だから、独立でない。$P(X>\frac12)=\int_{1/2}^12x\,\mathrm{d} x=1-\frac14=\frac34$、$P(Y>\frac12)=\int_{1/2}^12(1-y)\,\mathrm{d} y=\left[-(1-y)^2\right]_{1/2}^1=\frac14$ である。5. 4.3-5 最大値と最小値で分ける。

• 最大値。$\max(X,Y)\le t$ は、2つがともに $t$ 以下であることと同じである。独立性から次が成り立つ。

$$P(\max(X,Y)\le t)=P(X\le t)P(Y\le t)=F(t)G(t)$$

• 最小値。$\min(X,Y)>t$ は、2つがともに $t$ より大きいことと同じである。補集合 $\{X>t\}=\{X\le t\}^c$ と $\{Y>t\}$ も独立だから、次が成り立つ。

$$\begin{aligned}P(\min(X,Y)>t)&=(1-F(t))(1-G(t)),\\ P(\min(X,Y)\le t)&=1-(1-F(t))(1-G(t)).\end{aligned}$$

4.4 の解答

1. 4.4-1 補集合は和と共通部分を入れ替えるので

$$\Bigl(\bigcap_{m}\bigcup_{n\ge m}A_n\Bigr)^c=\bigcup_m\Bigl(\bigcup_{n\ge m}A_n\Bigr)^c=\bigcup_m\bigcap_{n\ge m}A_n^c$$

で、左辺は $(\limsup A_n)^c$、右辺は $\liminf A_n^c$ である。2. 4.4-2 2つの場合を順に調べる。

• $P(X_n<n^{-2})=n^{-2}$ で、その和は $\pi^2/6<\infty$ である。第1補題により $P(X_n<n^{-2}\ \text{i.o.})=0$ である。
• $P(X_n<n^{-1})=n^{-1}$ で、その和は発散する。事象 $\{X_n<n^{-1}\}$ は $\sigma(X_n)$ に属し、独立である。第2補題により $P(X_n<n^{-1}\ \text{i.o.})=1$ である。

3. 4.4-3 $a>0$ について次が成り立つ（$n^a\ge1$ を使った）。

$$P(X_n>n^a)=(n^a)^{-2}=n^{-2a}$$

• 上からの評価。$a>\frac12$ なら $\sum n^{-2a}<\infty$ である。第1補題から、ほとんど確実にある時点から先は $X_n\le n^a$ となる。すなわち $\log X_n/\log n\le a$（$n\ge2$）である。$a=\frac12+\frac1k$ として可算個の共通部分をとれば、ほとんど確実に $\limsup\log X_n/\log n\le\frac12$ である。
• 下からの評価。$a=\frac12$ なら $P(X_n>n^{1/2})=n^{-1}$ で、和が発散する。事象は独立だから、第2補題からほとんど確実に無限に多くの番号で $\log X_n/\log n>\frac12$ となる。よって上極限は $\frac12$ 以上である。

合わせて、上極限は $\frac12$ に等しい。4. 4.4-4 事象列は減少列なので、$\bigcup_{n\ge m}A_n=A_m=[0,1/m)$ である。よって次のとおりで、その確率は0である。

$$\limsup A_n=\bigcap_m[0,1/m)=\{0\}$$

一方 $A_2\cap A_3=A_3$ で、$P(A_2\cap A_3)=\frac13\ne\frac16=P(A_2)P(A_3)$ である。よって2つは独立でない。$\sum P(A_n)=\infty$ でも第2補題が使えないのはこのためである。5. 4.4-5 $k=1,2,\dots$ について、次の事象を置く。

$$E_k=\limsup_n\{\left\vert X_n-X\right\vert >1/k\}$$

仮定で $\varepsilon =1/k$ とした級数が収束するので、第1補題から $P(E_k)=0$ である。和集合 $N=\bigcup_kE_k$ は、劣加法性から確率0である。

点 $\omega$ が $N$ に入らないとする。どの $k$ についても $\omega\notin E_k$ である。

よって $\left\vert X_n(\omega)-X(\omega)\right\vert >1/k$ となる番号は有限個しかない。よって、ある番号 $n_k(\omega)$ から先は $\left\vert X_n(\omega)-X(\omega)\right\vert \le1/k$ である。$k$ は任意だから $X_n(\omega)\to X(\omega)$ となる。よって $\{X_n\to X\}\supset N^c$ で、補集合の確率は1だから、$X_n\to X$ ほとんど確実に。