この解説の使い方

2026年10月15日12分で読めますAI生成教科書『資格試験』第1章イントロダクション

章立てと読む順序
各章の組み立て
記号
分散分析表の書式
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

実験計画法　第1章 §1.3　★ この解説の章立て・記号・分散分析表の書式・確認テストの使い方

本の第1.3節は本自体の構成と勉強方法を述べる節だが、この解説ではその代わりに、この解説の使い方をまとめる。

章立てと読む順序

この解説は永田『入門実験計画法』の章立てに沿い、各章の節も本の節と同じ題にしてある。本文・例題・確認テストはすべて書き下ろしで、本の文章・例題・演習問題は含まない。本の第3部の Q&A は章として立てず、問いの題材を対応する章の節の中で自分の言葉で扱う（たとえば Fisher の3原則の由来はこの章の §1.1、 $n-1$ で割る理由は第2章 §2.2）。品質工学（タグチ・メソッド）と多変量解析の Q&A は資格試験の範囲の外なので扱わない。

表 1.1 に章の一覧と重要度を示す。重要度は、資格試験の公式シラバスでの位置づけと公表されている出題の頻度から決めた。★★★（★★★）はシラバスに明示された中心の項目、★★（★★）はそこから派生する定石、★（★）は範囲の中心ではないが理解に要る背景である。章の頭・節の頭・例題の題に同じ印を付けてある。

表 1.1　この解説の章と重要度

章	題	重要度
1	イントロダクション	★
2	基本的考え方と解析方法	★★★
3	1元配置法	★★★
4	1元配置法の理論	★★★
5	繰返しのある2元配置法	★★★
6	繰返しのない2元配置法	★★
7	多元配置法	★★
8	2水準系直交配列表実験	★★★
9	3水準系直交配列表実験	★★
10	直交配列表を用いた多水準法と擬水準法	★
11	乱塊法	★★★
12	分割法	★
13	直交配列表を用いた分割法	★
14	測定の繰返し	★

試験までの時間が限られているときは、次の順に読む。

第2章（解析の型）
第4章（その理論）
第3章（適用の手順）
第5章（交互作用）
第8章（直交配列表）
第11章（乱塊法）

そのあと第6・7・9・10章を読む。第12〜14章（分割法・測定の繰返し）は★で、時間が詰まったら後回しにしてよい。

第2章では「構造式・平方和の分解・自由度・期待平均平方・ $F$ 検定・推定と予測」の順に進む手続きを作る。この手続きは、ほかのすべての章で配置に合わせて繰り返されるので、第2章だけは最初に通して読む。

各章の組み立て

どの章も同じ形をしている。章の頭で、その章が作る道具と、それを1級のどの小問で使うかを述べる。各節は「定義・定理・証明と導出・例」の順で、導出は途中式を省かずに書いてある。1級の記述式は「導出せよ」「示せ」「求めよ」の形で問うので、読むときは導出を紙の上に自分の手で書き写して確かめる。

各節には例題（紫の枠）と確認テストがある。例題は1級の大問の小問1つ分（10〜15分）の重さで、解答は枠の下半分にある。まず解答を隠して自分で解き、そのあと解答と比べる。

確認テストは各節に3〜5問で、番号は「章.節-通し番号」の形（1.2-3 なら第1章第2節の3問目）である。解答は章の最後の「確認テストの解答」の節に、同じ番号で途中式まで書いてある。問題と例題には、すべてこの解説のための書き下ろしであることを示す印（オリジナル）を付けてある。

章の最後から2番目の節「この章のまとめと試験での出方」は、その章の結果をまとめ、1級でどういう小問の連鎖で問われるかを書いた節である。試験の直前には、各章のこの節だけを続けて読むと全体の手続きを見直すことができる。

記号

全章で次の記号を使う。章ごとに追加する記号は、その章の中で定義する。

表 1.2　この解説の主な記号

記号	意味
$x_{ij}$	水準 $A_i$ の $j$ 回目のデータ（2元配置では $x_{ijk}$ ）
$x_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij}$	データの構造式。 $\mu$ は一般平均、 $a_i$ は主効果（ $\sum_ia_i=0$ ）、 $\varepsilon_{ij}$ は互いに独立な $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ の誤差
$\mu(A_i)=\mu+a_i$	水準 $A_i$ の母平均。点推定は $\hat\mu(A_i)$
$a,\ r,\ N$	水準数・繰返し数・総データ数。第4章では主効果 $a_i$ と区別するため水準数を $\ell$ 、2元配置では $A,B$ の水準数を $l,m$ と書く。乱塊法では $r$ はブロック数
$T_{i\cdot},\ T,\ \bar x_{i\cdot},\ \bar{\bar x}$	水準合計・総合計・水準平均・総平均（添字の $\cdot$ はその添字について和をとったこと）
$CT=T^2/N$	修正項
$S_T,\ S_A,\ S_e$	総平方和・要因 $A$ の平方和・誤差平方和。交互作用は $S_{A\times B}$
$\phi_T,\ \phi_A,\ \phi_e$	自由度
$V_A=S_A/\phi_A,\ V_e=S_e/\phi_e$	平均平方（不偏分散）
$F_0=V_A/V_e$	分散比。 $F_0^{}$ は5%有意、 $F_0^{*}$ は1%有意
$E(V_A)$	期待平均平方。 $\sigma_A^2=\sum_ia_i^2/(a-1)$ を使って $E(V_A)=\sigma^2+r\sigma_A^2$ のように書く
$n_e$	有効反復数（推定量の分散が $\sigma^2/n_e$ になる数）
$\rho_A$	寄与率（純変動 $S_A'=S_A-\phi_AV_e$ の $S_T$ に対する割合）
$\gamma_j,\ \sigma_R^2$	ブロック効果とその分散（乱塊法・局所管理）
$L_8(2^7)$ など	直交配列表。 $L_{16}(2^{15})$ 、 $L_9(3^4)$ 、 $L_{27}(3^{13})$
$z_\alpha,\ t_\phi(\alpha),\ \chi^2_\phi(\alpha),\ F_{m,n}(\alpha)$	各分布の上側 $100\alpha\%$ 点

分散分析表の書式

分散分析の結果は、すべての章で表 1.3 の書式で書く。表の組み立ては次のとおりである。

行は要因（主効果・交互作用・ブロックなど）と誤差 $e$ で、最後の行は合計である。
平方和 $S$ と自由度 $\phi$ の列は、合計の行で和が合う。

$S_T=S_A+S_e,\qquad \phi_T=\phi_A+\phi_e$

平均平方 $V$ は $S/\phi$ である。分散比 $F_0$ は、各要因の平均平方を $V_e$ で割ったものである。
期待平均平方の列 $E(V)$ を添えると、 $F_0$ がどの2つの量を比べているかが読める。

表 1.3　1元配置（水準数

a

・繰返し

r

）の分散分析表の書式

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	$E(V)$
$A$	$S_A$	$a-1$	$V_A=S_A/\phi_A$	$V_A/V_e$	$\sigma^2+r\sigma_A^2$
$e$	$S_e$	$a(r-1)$	$V_e=S_e/\phi_e$		$\sigma^2$
計	$S_T$	$ar-1$

例題 1.4　空欄のある分散分析表を埋める ★★

オリジナル水準数 $a=4$ 、繰返し $r=5$ の1元配置で、次の平方和を得た。

$S_T=100,\qquad S_A=60$

分散分析表を完成させ、有意水準5%と1%で判定せよ。さらに $\sigma_A^2$ の不偏推定値と寄与率 $\rho_A$ を求めよ。 $F_{3,16}(0.05)=3.24$ 、 $F_{3,16}(0.01)=5.29$ を用いてよい。

解答

データ数は $N=20$ である。表の各欄を順に埋める。

$\begin{aligned}\phi_T&=19,\qquad \phi_A=3,\qquad \phi_e=19-3=16,\\ S_e&=S_T-S_A=40,\\ V_A&=60/3=20,\qquad V_e=40/16=2.5,\qquad F_0=20/2.5=8.0.\end{aligned}$

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	$E(V)$
$A$	60	3	20.0	$8.00^{**}$	$\sigma^2+5\sigma_A^2$
$e$	40	16	2.5		$\sigma^2$
計	100	19

$F_0=8.00\ge F_{3,16}(0.01)=5.29$ なので、因子 $A$ は有意水準1%で有意である。 $E(V_A)-E(V_e)=5\sigma_A^2$ だから、 $\sigma_A^2$ の不偏推定値は次のとおり。

$\frac{V_A-V_e}{5}=\frac{20-2.5}{5}=3.5$

純変動は $S_A'=S_A-\phi_AV_e=60-3\times2.5=52.5$ で、寄与率は $\rho_A=52.5/100=52.5\%$ 。

確認テスト

オリジナル

1.3-1 水準数3・繰返し2の1元配置で、次のデータを得た。

$A_1:\ 4,6\qquad A_2:\ 7,9\qquad A_3:\ 2,2$

次の量を求めよ。

$T_{1\cdot},T_{2\cdot},T_{3\cdot},\quad T,\quad \bar x_{1\cdot},\bar x_{2\cdot},\bar x_{3\cdot},\quad \bar{\bar x},\quad CT$ 2. 1.3-2 1元配置の分散分析表の一部が、次のように与えられた。

$\phi_A=2,\qquad \phi_e=9,\qquad S_e=18,\qquad F_0=6.0$

水準数・繰返し数と、表の残りの欄（ $V_e,V_A,S_A,S_T$ ）を求めよ。さらに有意水準5%と1%で判定せよ。 $F_{2,9}(0.05)=4.26$ 、 $F_{2,9}(0.01)=8.02$ を用いてよい。3. 1.3-3 表 1.3 の期待平均平方から、 $\sigma_A^2$ の不偏推定量を作れ。また、確認テスト 1.3-2 の表についてその値を求めよ。

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