この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第10章 §10.3　★ 水準数の不一致を「列をまとめる」か「水準を重ねる」で解消し、平方和と $n_e$ の計算をデータ数に合わせて直す

多水準法は、2水準系の表で2本の列とその交互作用の列の3本をまとめて4水準の列を作る方法である。3本の符号ベクトルと $\bm 1$ が4つの水準の指示ベクトルと同じ空間を張るので、4水準の因子の平方和は3列の列平方和の和に等しく（定理 10.2）、ほかの列の因子とは釣り合っている。2水準の因子との交互作用は3本の積の列に現れ、自由度は3である。各水準のデータ数がそろうので、田口の式と伊奈の式はどちらも使える。

擬水準法は、因子の水準数が列の水準数より少ないとき、ある水準を重複させて列を埋める方法である。平方和は水準ごとのデータ数で割る不揃いの1元配置の式で計算し、列の自由度の余りは擬水準とその元の水準の差の平方和として誤差に加える（定理 10.4）。水準ごとのデータ数が違うので田口の式は使えないが、異なる因子の水準の集合のあいだで比例頻度が成り立つので、推定量の分散は伊奈の式で正しく計算される（定理 10.5）。

1級の統計応用（理工学）は90分で5問から3問を選ぶ記述式で、2025年の理工学には実験計画法の大問は無かった。この章の内容は第8章・第9章の直交配列表の問題の中で、次のような小問の連鎖として現れると考えられる。

1. 4水準（または3水準と2水準の混在）の因子をどの列に置くかを示す。
2. 自由度を数えて、表の大きさと誤差の自由度を決める。
3. 水準ごとのデータ数に注意して平方和を求め、分散分析表を作る。
4. 最適条件の推定式を書き、伊奈の式で $n_e$ を求めて区間推定する。

証明の小問としては、次の3つが候補である。

• 多水準の因子の平方和が、3列の列平方和の和になること。
• 擬水準の差の平方和が、誤差として $\sigma^2\chi^2_1$ に従うこと。
• 擬水準法で伊奈の式が成り立つこと（比例頻度から共分散が $\sigma^2/N$ になること）。