確認テストの解答

実験計画法　第13章 §13.4

1. 13.1-1 1次の文字が2個なので $m=2^2=4$、$k=8/4=2$。$a,b$ は行の上位2桁なので、1次単位は No. 1・2、3・4、5・6、7・8 である。列の分類は次のとおりである。

   • 1次の列：列[1]・[2]・[3]（成分記号 $a,b,ab$）の3本（$m-1=3$）。
   • 2次の列：列[4]〜[7]（成分記号 $c,ac,bc,abc$）の4本（$N-m=4$）。

実際に第8章の $L_8$ の表を見ると、列[1]〜[3]は No. 1・2 で同じ水準、3・4 で同じ水準…となり、列[4]〜[7]は各対の中で水準が入れ替わっている。2. 13.1-2 1次単位 $l=1,\dots,4$ を No. $(2l-1,2l)$ とする。$L_8$ の表から、No. 1〜8 での符号は次のとおりである。

$$\text{列[3]}:\ (+,+,-,-,-,-,+,+),\qquad \text{列[6]}:\ (+,-,-,+,+,-,-,+)$$

$\beta=0$ のとき $x_n=\mu+\delta_{l(n)}+\varepsilon_n$ である。$\bm u^\top\bm 1=0$ により $\mu$ は消えるので

$$\bm u_3^\top\bm x=2\delta_1-2\delta_2-2\delta_3+2\delta_4+(\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_3-\varepsilon_4-\varepsilon_5-\varepsilon_6+\varepsilon_7+\varepsilon_8),$$

$$\bm u_6^\top\bm x=(\delta_1-\delta_1)+(-\delta_2+\delta_2)+(\delta_3-\delta_3)+(-\delta_4+\delta_4)+(\varepsilon_1-\varepsilon_2-\varepsilon_3+\varepsilon_4+\varepsilon_5-\varepsilon_6-\varepsilon_7+\varepsilon_8).$$

独立性から $V[\bm u_3^\top\bm x]=4\cdot4\sigma_{(1)}^2+8\sigma_{(2)}^2=8(\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2)$、$V[\bm u_6^\top\bm x]=8\sigma_{(2)}^2$。期待値は0なので $E(S_{[3]})=V[\bm u_3^\top\bm x]/8=\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2$、$E(S_{[6]})=\sigma_{(2)}^2$。列[3]では各1次単位の2つの符号が同じなので $\delta_l$ が2倍で残り、列[6]では逆符号なので打ち消し合う。3. 13.1-3 列[8]の成分記号は $d$ である。列[13]は $13=8+4+1$ なので $acd$ である。$C\times D=d\cdot acd=ac\,d^2=ac$ で列[5]（$8\oplus13=5$）に現れる。成分 $ac$ は1次の文字だけなので1次の列である。

一般に2次の文字が $d$ だけなら、2次の列の成分記号はすべて $\bm w_1 d$ の形である。ここで $\bm w_1$ は1次の文字の積で、空でもよい。2本の積は次のようになり、$d$ が消える。

$$\bm w_1d\cdot\bm w_1'd=\bm w_1\bm w_1'd^2=\bm w_1\bm w_1'$$

したがって2次因子どうしの交互作用は必ず1次の列に現れ、1次誤差で検定することになる（$\bm w_1=\bm w_1'$ なら積は1になるが、それは2つの因子が同じ列にある場合で起こらない）。4. 13.1-4 設定は $N=16,\ k=2,\ m=8$ で、$p_1=3,\ p_2=2$ である。定理 13.4 より

$$V[\hat\mu]=\frac{4}{16}(\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2)+\frac{2}{16}\sigma_{(2)}^2=\frac12\sigma_{(1)}^2+\frac{3}{8}\sigma_{(2)}^2 .$$

推定値は $\hat V=(4\times6.0+2\times1.5)/16=27/16=1.6875$。等価自由度は$\phi^*=27^2/(24^2/4+3^2/6)=729/(144+1.5)=729/145.5=5.01$ で5に丸める。$\hat\sigma_{(1)}^2=(V_{e(1)}-V_{e(2)})/k=(6.0-1.5)/2=2.25$。5. 13.2-1 点推定値は $\bar x(A_1C_1)-\bar x(A_1C_2)=55.25-49.5=5.75$。各バッチには $C_1$ と $C_2$ が1本ずつ入る。そのため $A_1$ の4バッチ $l=1,\dots,4$ について、差は同じバッチの中の差の平均で書ける。

$$\bar x(A_1C_1)-\bar x(A_1C_2)=\frac14\sum_{l=1}^4(x_{l,C_1}-x_{l,C_2})$$

各項は次のように分かれ、$\delta_l$ が消える。

$$x_{l,C_1}-x_{l,C_2}=(\text{効果の差})+(\delta_l-\delta_l)+(\varepsilon_{l,C_1}-\varepsilon_{l,C_2})$$

よって分散は $\sigma_{(2)}^2$ だけで書ける。

$$V=\frac{1}{16}\cdot4\cdot2\sigma_{(2)}^2=\frac{\sigma_{(2)}^2}{2}$$

列で言えば、符号が変わるのは $C$ と $A\times C$ の2本の2次の列である。$c_j=\pm2$ として (13.11) からも $2\cdot4\sigma_{(2)}^2/16=\sigma_{(2)}^2/2$ を得る。推定値は $V_{e(2)}'/2=0.3125$、$\sqrt{0.3125}=0.5590$。$\phi_{e(2)}'=6$ で

$$5.75\pm2.447\times0.5590=5.75\pm1.37,\qquad 4.38\le\mu(A_1C_1)-\mu(A_1C_2)\le7.12 .$$ 6. 13.2-2 誤差の平方和は $S_{e(1)}+S_{e(2)}=15.5+3.5=19$、自由度は9で、平均平方は $V_e''=19/9=2.111$。$F_0(A)=110.25/2.111=52.22$（分割法では28.45）、$F_0(C)=30.25/2.111=14.33$（分割法では43.21）。定理 13.3 より $E(S_{e(1)}+S_{e(2)})=4(\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2)+5\sigma_{(2)}^2=9\sigma_{(2)}^2+8\sigma_{(1)}^2$ なので$E(V_e'')=\sigma_{(2)}^2+\tfrac89\sigma_{(1)}^2$。 1次の要因の検定の正しい分母は、$\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2$ を推定する。それに比べて $V_e''$ は小さすぎ、$A$ のような1次の要因は有意に出やすくなる（第1種の誤りが増える）。2次の要因の検定の正しい分母は $\sigma_{(2)}^2$ を推定する。それに比べて $V_e''$ は大きすぎ、2次の要因は有意に出にくくなる（検出力が落ちる）。さらに $S_{e(1)}+S_{e(2)}$ は、2種類の倍率のカイ二乗の和である。そのため $V_e''$ を分母にした分散比は、$F$ 分布に従わない。7. 13.2-3 点推定値は $\bar x(A_1C_1)-\bar x(A_2C_1)=55.25-47.0=8.25$。2つの平均は別のバッチのもので、どちらも4つのバッチから1本ずつ取ったデータの平均である。そのため各平均の分散は下の第1式になり、両者は独立なので差の分散は第2式になる。

$$V[\bar x(A_iC_1)]=\frac{\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2}{4},\qquad V[\text{差}]=\frac{\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2}{2}$$

列で見ると、符号が変わるのは $A$（1次）と $A\times C$（2次）である。(13.11) からも次を得て、一致する。

$$\frac{4(\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2)}{16}+\frac{4\sigma_{(2)}^2}{16}=\frac{\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2}{2}$$

推定値は $\{(\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2)+\sigma_{(2)}^2\}/4$ に代入して $\hat V=(V_{e(1)}'+V_{e(2)}')/4=(4.35+0.625)/4=1.24375$。等価自由度は $\phi^*=4.975^2/(4.35^2/5+0.625^2/6)=24.75/(3.7845+0.0651)=6.43$ で6に丸める。$\sqrt{1.24375}=1.1152$ なので

$$8.25\pm2.447\times1.1152=8.25\pm2.73,\qquad 5.52\le\mu(A_1C_1)-\mu(A_2C_1)\le10.98 .$$

13.2-1 の区間（幅 $\pm1.37$）より広いのは、バッチ間の変動 $\sigma_{(1)}^2$ が入るからである。8. 13.2-4 列[10]は $bd$。$A\times D=a\cdot bd=abd$ で列[11]、$C\times D=d\cdot bd=b$ で列[2]に現れる。 $A\times D$ は $d$ を含む2次の列に現れるので、2次誤差で検定できる。一方 $C\times D$ は1次の列[2]に落ちる。この列には $B$ を置いたので、$B$ と交絡する。 2次の文字が $d$ だけのこの割り付けでは、2次因子を2つ置くと必ずこうなる（確認テスト 13.1-3）。因子 $D$ を加えたいなら、1次の文字を2つに減らして $k=4$ とする必要がある。