条件付き確率とベイズの定理

A が当たるという事象を $A$、B が当たるという事象を $B$ とする。$P(A)=3/10$ である。A が当たった場合、残り9本中の当たりは2本なので$P(B\mid A)=2/9$、A がはずれた場合は残り9本中の当たりは3本なので $P(B\mid A^c)=3/9$ である。

1. 乗法定理から

$$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac3{10}\cdot\frac29=\frac6{90}=\frac1{15}.$$ 2. $A$ と $A^c$ で場合分けして全確率の公式 (3.15) を使う。

$$P(B)=\frac3{10}\cdot\frac29+\frac7{10}\cdot\frac39=\frac{6+21}{90}=\frac{27}{90}=\frac3{10}.$$

B が当たる確率は A と同じ $3/10$ で、引く順番によらない。くじに番号をつけて10本の並び $10!$ 通りを等確率とみれば、2番目の位置に当たりが来る並びの割合は1番目に当たりが来る割合と同じであることからも分かる。3. 定義 (3.13) から

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{6/90}{27/90}=\frac29.$$

B が当たったと分かれば、A が引いたのは「B が引いた当たり以外の9本」のどれかと考えられ、そのうち当たりは2本である。この読み方とも一致する。(3) は、あとから起こった事象を条件にして前の事象の確率を求めており、次の Bayes の定理と同じ形の計算である。

病気である事象を $D$、陽性の事象を $+$、陰性の事象を $-$ とする。与えられた値は $P(D)=0.02$、$P(+\mid D)=0.95$、$P(-\mid D^c)=0.90$ で、余事象から $P(+\mid D^c)=0.10$、$P(-\mid D)=0.05$ である。樹形図は図3.2 のとおり。

1. 全確率の公式で $D$ と $D^c$ に場合分けする。

$$\begin{aligned} P(+)&=P(D)P(+\mid D)+P(D^c)P(+\mid D^c)\\ &=0.02\times0.95+0.98\times0.10=0.019+0.098=0.117. \end{aligned}$$ 2. Bayes の定理から

$$P(D\mid +)=\frac{0.019}{0.117}\approx0.1624,\qquad P(D^c\mid -)=\frac{P(D^c)P(-\mid D^c)}{P(-)}=\frac{0.882}{0.883}\approx0.9989.$$

陰性的中率の分母には $P(-)=1-P(+)=0.883$ を使った。感度・特異度がともに9割以上でも、陽性の人のうち病気の人は約16% にとどまる。健康な人が全体の98% を占めるので、その1割の誤判定（0.098）が、病気の人の正しい判定（0.019）の約5倍になるからである。3. 2回の検査をまとめて1つの観測 $B$＝「2回とも陽性」とみる。仮定（病気かどうかを条件とした独立）から

$$P(B\mid D)=0.95^2=0.9025,\qquad P(B\mid D^c)=0.10^2=0.01.$$

オッズの形 (3.17) を使うと、事前オッズは $0.02/0.98$、尤度比は $0.9025/0.01=90.25$ なので

$$\frac{P(D\mid B)}{P(D^c\mid B)}=\frac{0.02}{0.98}\times90.25=\frac{1.805}{0.98}\approx1.8418,\qquad P(D\mid B)=\frac{1.8418}{1+1.8418}\approx0.6481.$$

1回目の事後確率 $0.1624$ を新しい事前確率として、2回目の陽性で Bayes の定理をもう一度使っても同じ値になる。1回の陽性の尤度比は $0.95/0.10=9.5$ で、事前オッズに 9.5 を2回掛けることと、2回分の尤度比 $90.25=9.5^2$ を1回掛けることは同じだからである。なお、2回の結果が病気かどうかを条件にしても独立でない場合（同じ体質の人が毎回同じ誤判定をする場合など）は、この計算は成り立たない。