中心極限定理

統計学の復習　第8章 §8.5　★★★ 標準化した標本平均の分布は、母集団分布によらず $n\to\infty$ で標準正規分布に近づく。平均と分散は正確に決まり、近似になるのは分布の形だけで、二項分布の正規近似は連続補正をつけて使う

定理の主張

この定理の証明には積率母関数（または特性関数）の収束を使い、2級の範囲の道具では閉じない。証明は数理統計の解説 第5章 §5.3 で扱う。ここでは主張の意味と、何が正確で何が近似かを区別する。

式 (8.13) の2つの形が等しいことは、分子と分母に $n$ を掛ければ分かる。定理 8.2 から $E[Z_n]=0$、$V[Z_n]=1$ はどの $n$ でも正確に成り立ち、ここには近似も極限も入っていない。中心極限定理が述べるのはその先で、平均 $0$・分散 $1$ にそろえた $Z_n$ の分布の形が、母集団分布が二項分布でも一様分布でも指数分布でも、標準正規分布の形に近づくということである。平均と分散がそろっていても、歪み方や裾の厚さが正規分布と違う分布はいくらでもあるので、この主張は平均と分散の計算からは出てこない。

実際の使い方は、$n$ が十分大きいとき

$$\bar X_n\ \approx\ \mathrm{N}\Bigl(\mu,\ \frac{\sigma^2}n\Bigr),\qquad X_1+\cdots+X_n\ \approx\ \mathrm{N}(n\mu,\ n\sigma^2)\tag{8.15}$$

と置き換え、標準化して標準正規分布表を引くことである。母集団分布が正規分布なら、正規分布の再生性（第6章）によって $\bar X_n\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2/n)$ がどの $n$ でも正確に成り立つ。母集団分布が正規分布から遠い（歪みが大きい）ほど、近似に要る $n$ は大きくなる。2級では「$n$ がおよそ30以上」を目安とすることが多いが、これは分布の形によって変わる目安である。

和の分布の広がりは $\sqrt n\,\sigma$ で $n$ とともに大きくなり、平均の分布の広がりは $\sigma/\sqrt n$ で小さくなる。標準化はどちらの場合も、この $\sqrt n$ の速さに合わせて目盛りを取り直す操作で、その結果として形の比較ができるようになる。大数の法則が「$\bar X_n$ は $\mu$ に縮む」ことを述べるのに対し、中心極限定理は「縮んでいく途中のぶれを $\sqrt n$ 倍に拡大して見ると正規分布の形をしている」ことを述べる。

二項分布の正規近似と連続補正

$X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ は、成功なら1・失敗なら0をとる独立なベルヌーイ変数 $B_1,\dots,B_n$ の和である（第5章）。各 $B_i$ の平均は $p$、分散は $p(1-p)$ なので、中心極限定理から

$$X\ \approx\ \mathrm{N}\bigl(np,\ np(1-p)\bigr)\tag{8.16}$$

となる。この近似を de Moivre–Laplace の定理と呼ぶ。目安は $np\ge5$ かつ $n(1-p)\ge5$ で、$p$ が $0$ や $1$ に近く $np$ が小さいときは、正規近似よりポアソン近似（第5章 §5.2）を使う。

二項分布は整数の上にしか確率を持たないので、正規分布の面積で近似するときは、整数 $k$ の確率を「$k-0.5$ から $k+0.5$ までの幅1の棒の面積」とみなす。これを連続補正と呼ぶ。不等号の向きごとの書き換えは次の4つで、「その整数の棒を含めたい側へ、境界を $0.5$ 外へ広げる」と覚える。

1. $P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0.5)$（$k$ の棒を含める）
2. $P(X\le k)\approx P(Y\le k+0.5)$（$k$ の棒を含める）
3. $P(X>k)=P(X\ge k+1)\approx P(Y\ge k+0.5)$（$k$ の棒を含めない）
4. $P(X<k)=P(X\le k-1)\approx P(Y\le k-0.5)$（$k$ の棒を含めない）

ここで $Y\sim\mathrm{N}(np,np(1-p))$ である。補正をしないと、境界の整数の棒の半分が抜けるか余分に入る。その棒の確率は $n$ が大きくなると小さくなるので、補正の影響は $n$ が小さいときほど大きい（図 8.2）。

確認テスト

オリジナル

1. 8.5-1 平均 $\mu$・分散 $\sigma^2$ の母集団からの無作為標本について、次のうち中心極限定理を使わなければ言えないものを選べ。(a) $E[\bar X]=\mu$　(b) $V[\bar X]=\sigma^2/n$　(c) $n$ が大きいとき $P(\bar X\le\mu+\sigma/\sqrt n)\approx0.84$　(d) 母集団が正規分布なら $\bar X$ は正規分布に従う
2. 8.5-2 $U_1,\dots,U_{12}$ を独立に $(0,1)$ の一様分布に従う確率変数とし、$T=U_1+\cdots+U_{12}-6$ と置く。$E[T]=0$、$V[T]=1$ を示し、$P(\lvert T\rvert >2)$ を中心極限定理で近似せよ。
3. 8.5-3 $X\sim\mathrm{Bin}(200,0.3)$ のとき、$P(50\le X\le70)$ を連続補正をした正規近似で求めよ。
4. 8.5-4 $X\sim\mathrm{Po}(100)$ は、独立な $\mathrm{Po}(1)$ に従う100個の確率変数の和と同じ分布を持つ（第5章 ポアソン分布の再生性）。このことを使って $P(X\ge120)$ を連続補正をした正規近似で求めよ。
5. 8.5-5 1袋の重さが平均 $250$ g、標準偏差 $10$ g の袋菓子を独立に40袋集めた箱の総重量 $W$ について、$P(W>10100)$ を中心極限定理で近似せよ。