この章のまとめと試験での出方

(1) 学生を1人無作為に選んだとき、全確率の公式から賛成の確率は $p=0.4\times0.7+0.6\times0.3=0.28+0.18=0.46$ である。賛否は0か1の値をとるので、ベルヌーイ分布の分散として $\sigma^2=p(1-p)=0.46\times0.54=0.2484$ である。

(2) 層 $h$ の中の賛否も0か1なので、層内の分散は $\sigma_h^2=p_h(1-p_h)$ で、理系・文系ともに $0.7\times0.3=0.3\times0.7=0.21$ である。層内の項は $0.4\times0.21+0.6\times0.21=0.21$、層間の項は $p_h-p=0.24,\ -0.16$ から

$$0.4\times0.24^2+0.6\times(-0.16)^2=0.4\times0.0576+0.6\times0.0256=0.02304+0.01536=0.0384$$

である。和は $0.21+0.0384=0.2484$ で、(1) と一致する。

(3) 単純無作為抽出では $V[\hat p]=\sigma^2/400=0.2484/400=0.000621$ で、標準誤差は $\sqrt{0.000621}=0.02492$ である。比例配分では、定理 8.5 から $V[\hat p_{\mathrm{st}}]=0.21/400=0.000525$ で、標準誤差は $\sqrt{0.000525}=0.02291$ である。式 (8.8) で直接計算しても、$0.4^2\times0.21/160+0.6^2\times0.21/240=0.00021+0.000315=0.000525$ で同じ値になる。

(4) 単純無作為抽出の $\hat p$ は400個の独立なベルヌーイ変数の平均なので、中心極限定理から $\hat p\approx\mathrm{N}(0.46,0.02492^2)$ である。よって

$$P(\lvert \hat p-0.46\rvert \le0.03)\approx P\Bigl(\lvert Z\rvert \le\frac{0.03}{0.02492}\Bigr)=P(\lvert Z\rvert \le1.204)=2\Phi(1.204)-1=0.771.$$

層別抽出の $\hat p_1$ と $\hat p_2$ はそれぞれ160個・240個の独立なベルヌーイ変数の平均なので、中心極限定理からそれぞれ近似的に正規分布に従う。2つの層の抽出は独立で、独立な正規分布に従う確率変数の線形結合は正規分布に従うので、$\hat p_{\mathrm{st}}\approx\mathrm{N}(0.46,0.02291^2)$ である。よって

$$P(\lvert \hat p_{\mathrm{st}}-0.46\rvert \le0.03)\approx P(\lvert Z\rvert \le1.309)=2\Phi(1.309)-1=0.810.$$

(5) $0.2484/n\le0.000525$ を解くと $n\ge0.2484/0.000525=473.1$ で、$474$ 人が必要である。層別抽出の400人は、単純無作為抽出の474人分の精度に当たる。層間の分 $0.0384$ は母分散の約15%で、その分だけ必要な標本が減る。