確認テストの解答

統計学の復習　第8章 §8.7

§8.1 母集団と標本

1. 8.1-1 統計量は (a)・(b)・(e) である。(c) と (d) は未知の母数 $\mu$ や $\sigma$ を含むので、標本の値だけからは計算できず、統計量ではない。(d) は第10章で区間推定に使う量（母数を含むが分布が分かる量）で、統計量とは区別する。
2. 8.1-2 線形性から $E[T]=2\mu-\mu+3\mu=4\mu$ である。$X_1,X_2,X_3$ は独立なので共分散の項は $0$ で、

$$V[T]=2^2\sigma^2+(-1)^2\sigma^2+3^2\sigma^2=14\sigma^2$$

となる。符号が負の係数も2乗されて足される。次に、$\bar X=\frac1n\sum_jX_j$ で、$j\ne1$ の項は $X_1$ と独立なので $\mathrm{Cov}(\bar X,X_1)=\frac1n\mathrm{Cov}(X_1,X_1)=\sigma^2/n$ である。よって

$$V[D]=V[\bar X]+V[X_1]-2\mathrm{Cov}(\bar X,X_1)=\frac{\sigma^2}n+\sigma^2-\frac{2\sigma^2}n=\frac{n-1}n\sigma^2.$$

$\bar X$ と $X_1$ は独立でないので、$V[\bar X]+V[X_1]$ とするのは誤りである。3. 8.1-3 母集団の平均は $p=3/5=0.6$、母分散は $\sigma^2=p(1-p)=0.24$ である。定理 8.3 から

$$V[\bar X]=\frac{0.24}3\times\frac{5-3}{5-1}=0.08\times0.5=0.04.$$

数え上げ：3個の中の合格品の数は、3個とも合格が $\binom33=1$ 通り、2個が $\binom32\binom21=6$ 通り、1個が $\binom31\binom22=3$ 通りで、合計10通りである。$\bar X$ は $1,\ 2/3,\ 1/3$ をそれぞれ確率 $0.1,\ 0.6,\ 0.3$ でとり、$E[\bar X]=0.1+0.4+0.1=0.6$ である。$E[\bar X^2]=0.1\times1+0.6\times\frac49+0.3\times\frac19=0.1+0.2667+0.0333=0.4$ なので $V[\bar X]=0.4-0.36=0.04$ で一致する。4. 8.1-4 8.1-2 と同じく $\mathrm{Cov}(\bar X,X_i)=\sigma^2/n$ である。また $\mathrm{Cov}(\bar X,\bar X)=V[\bar X]=\sigma^2/n$ である。共分散の線形性から

$$\mathrm{Cov}(\bar X,\ X_i-\bar X)=\mathrm{Cov}(\bar X,X_i)-V[\bar X]=\frac{\sigma^2}n-\frac{\sigma^2}n=0.$$

標本平均と各偏差が無相関であることは、正規母集団で $\bar X$ と $S^2$ が独立になる事実（数理統計の解説 第5章 §5.2）の出発点になる。

§8.2 全数調査と標本調査

1. 8.2-1 (a) 標本調査。点火時間を測ると花火は使えなくなるので、全数を調べると出荷する物が残らない（破壊検査）。(b) 全数調査。20人なら全員を確かめる費用は小さく、1人の漏れの重みが大きい。(c) 標本調査。母集団が非常に大きく、全数調査は費用と時間がかかりすぎる。平均を知るには無作為標本で十分な精度が得られる。
2. 8.2-2 $m=E[T]$ と置き、$T-\theta=(T-m)+(m-\theta)$ と分けて2乗すると

$$E[(T-\theta)^2]=E[(T-m)^2]+2(m-\theta)E[T-m]+(m-\theta)^2$$

となる。$m-\theta$ は確率変数でない定数なので期待値の外に出せる。$E[T-m]=E[T]-m=0$ なので交差項は $0$ になり、$E[(T-m)^2]=V[T]$ から $\mathrm{MSE}(T)=V[T]+(m-\theta)^2$ を得る。3. 8.2-3 $\mathrm{MSE}(T_1)=4/n$、$\mathrm{MSE}(T_2)=1/n+0.1^2=1/n+0.01$ である。$4/n<1/n+0.01$ は $3/n<0.01$、すなわち $n>300$ と同値である。$n$ が小さいうちは分散の小さい $T_2$ の方がよいが、$n>300$ では偏りの2乗 $0.01$ が残る $T_2$ の方が悪くなる。4. 8.2-4 $p(1-p)=1/4$ として、式 (8.6) から

$$n\ge\frac{500\times0.25}{499\times0.0004+0.25}=\frac{125}{0.4496}=278.02$$

で、最小値は $279$ 人である。修正をしない場合は $n\ge0.25/0.0004=625$ で、母集団の500人を超えてしまう。抜き取る割合が大きいときは修正が欠かせない。

§8.3 標本の抽出方法

1. 8.3-1 (a) 多段抽出（3段抽出）。選んだ市・町の中をさらに抽出している。(b) 層別抽出（比例配分）。すべての部署（層）から取り出している。(c) 系統抽出。(d) クラスター抽出（集落抽出）。高校という集落を選び、選んだ集落の中は全数を調べている。
2. 8.3-2 $k=4$ では、最初に選んだ位置の役割が4人ごとに繰り返されるので、150人全員が同じ役割（たとえば全員が班長）になる。名簿の周期4と間隔4が一致したためである。$k=5$ では、選ばれる位置の4で割った余りが $1,2,3,0,1,\dots$ と順に回るので、120人の中で4つの役割が30人ずつ選ばれ、役割の偏りは生じない。系統抽出では、名簿の周期と間隔が公約数を持たないように選ぶ。
3. 8.3-3 全体の割合は $p=0.5\times0.2+0.5\times0.8=0.5$ で、$\sigma^2=0.25$ である。層内は $0.5\times0.16+0.5\times0.16=0.16$、層間は $0.5\times0.3^2+0.5\times0.3^2=0.09$ で、和は $0.25$ である。標準誤差は、単純無作為抽出で $\sqrt{0.25/100}=0.05$、比例配分の層別抽出で $\sqrt{0.16/100}=0.04$ である。
4. 8.3-4 $a_h=W_h\sigma_h/\sqrt{n_h}$、$b_h=\sqrt{n_h}$ と置くと $\sum_ha_hb_h=\sum_hW_h\sigma_h$、$\sum_ha_h^2=\sum_hW_h^2\sigma_h^2/n_h=V[\bar X_{\mathrm{st}}]$、$\sum_hb_h^2=n$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\Bigl(\sum_hW_h\sigma_h\Bigr)^2\le V[\bar X_{\mathrm{st}}]\cdot n,\qquad V[\bar X_{\mathrm{st}}]\ge\frac1n\Bigl(\sum_hW_h\sigma_h\Bigr)^2$$

となる。等号は $a_h$ と $b_h$ が比例するとき、すなわち $W_h\sigma_h/\sqrt{n_h}=c\sqrt{n_h}$ から $n_h\propto W_h\sigma_h$ のときに成り立ち、$\sum_hn_h=n$ から $n_h=nW_h\sigma_h/\sum_lW_l\sigma_l$ である。例題 8.4 では $W_h\sigma_h=5,\ 3.6,\ 4$ で和は $12.6$ である。$n_h=200\times5/12.6=79.4$、$200\times3.6/12.6=57.1$、$200\times4/12.6=63.5$ で、最小値は $12.6^2/200=0.794$ となり、比例配分の $0.866$ より小さい。ばらつきの大きい「4人以上」の層に、比例配分（40世帯）より多くの標本を配っている。5. 8.3-5 デザイン効果は $1+24\times0.2=5.8$ である。集落を $k$ 個選ぶと分散は $\sigma^2\times5.8/(25k)$ で、これが $\sigma^2/400$ 以下になる条件は $25k\ge400\times5.8=2320$、すなわち $k\ge92.8$ である。集落は93個（2325人）必要で、単純無作為抽出の約5.8倍の人数を調べることになる。

§8.4 大数の法則

1. 8.4-1 (a) 誤り。表と裏の回数の差の標準偏差は $\sqrt n$ に比例して大きくなる。$0$ に近づくのは割合の差である。(b) 正しい。大数の弱法則の $\varepsilon=0.01$ の場合である。(c) 誤り。各回は独立なので、11回目に裏が出る確率は $1/2$ のままである。
2. 8.4-2 $p(1-p)\le1/4$ から $P(\lvert \hat p-p\rvert \ge0.02)\le\dfrac{1/4}{2500\times0.0004}=0.25$ である。$\dfrac{1/4}{n\times0.0004}\le0.1$ を解くと $n\ge\dfrac{0.25}{0.00004}=6250$ である。
3. 8.4-3 $(U_1,U_2)$ は単位正方形の上の一様分布に従うので、$P(U_1^2+U_2^2\le1)$ は単位正方形の中の四分円の面積 $\pi/4$ に等しい。$B$ は0か1をとるので $E[B]=P(B=1)=\pi/4$ である。$V[B]=\frac\pi4\bigl(1-\frac\pi4\bigr)=0.7854\times0.2146=0.16855$ である。推定量 $4\bar B_n$ の分散は $16\times0.16855/n=2.6968/n$ なので、Chebyshev の不等式から条件は

$$\frac{2.6968/n}{0.01^2}\le0.05\iff n\ge\frac{2.6968}{0.000005}=539353.2$$

で、$n\ge539354$ である。誤差を $0.01$ に抑えるだけで約54万回の試行を要し、乱数による面積の推定の精度は $1/\sqrt n$ の速さでしか上がらない。4. 8.4-4 $Y_i=(X_i-\mu)^2$ と置くと、$Y_1,\dots,Y_n$ は独立で同じ分布に従い、$E[Y_i]=\sigma^2$、$V[Y_i]=E[(X_i-\mu)^4]-\sigma^4=\mu_4-\sigma^4$ である。$T_n=\bar Y_n$ なので定理 8.2 から $E[T_n]=\sigma^2$、$V[T_n]=(\mu_4-\sigma^4)/n$ となる。Chebyshev の不等式から $P(\lvert T_n-\sigma^2\rvert \ge\varepsilon)\le\dfrac{\mu_4-\sigma^4}{n\varepsilon^2}\to0$ で、$T_n$ は $\sigma^2$ に確率収束する。$\mu$ が未知で $\bar X$ を使う場合（標本分散・不偏分散の一致性）は、数理統計の解説 第5章 §5.3 の連続写像定理で扱う。

§8.5 中心極限定理

1. 8.5-1 (c) だけである。(a) と (b) は期待値と分散の計算だけで正確に成り立つ。(d) は正規分布の再生性による正確な結果で、極限は使わない。(c) は $P(Z_n\le1)\to\Phi(1)=0.8413$ という分布の形についての主張なので、中心極限定理が要る。
2. 8.5-2 $(0,1)$ の一様分布の平均は $1/2$、分散は $1/12$（第6章）である。$E[T]=12\times\frac12-6=0$、$V[T]=12\times\frac1{12}=1$（定数 $6$ を引いても分散は変わらない）。中心極限定理から $T\approx\mathrm{N}(0,1)$ とすると、$P(\lvert T\rvert >2)\approx2\{1-\Phi(2)\}=2\times0.0228=0.0455$ である。12個の一様乱数の和から6を引く方法は、平均0・分散1の量を標準化の計算なしで作ることができるので、正規乱数の簡便な作り方として使われてきた。
3. 8.5-3 $np=60$、$np(1-p)=42$、標準偏差 $\sqrt{42}=6.481$ である。規則 1 と 2 から $P(49.5\le Y\le70.5)$ を求め、

$$P\Bigl(\frac{49.5-60}{6.481}\le Z\le\frac{70.5-60}{6.481}\Bigr)=P(\lvert Z\rvert \le1.620)=2\Phi(1.620)-1=0.8948$$

である。二項分布の正確な値は $0.8952$ である。4. 8.5-4 $\mathrm{Po}(1)$ の平均と分散はともに $1$ なので、和の100個について中心極限定理から $X\approx\mathrm{N}(100,100)$ である。連続補正をして

$$P(X\ge120)\approx P\Bigl(Z\ge\frac{119.5-100}{10}\Bigr)=P(Z\ge1.95)=1-0.9744=0.0256$$

である。ポアソン分布の正確な値は $0.0282$ で、右に裾が長い分布なので正規近似は右裾の確率をやや小さく見積もる。5. 8.5-5 $E[W]=40\times250=10000$ g、$V[W]=40\times10^2=4000$ で、標準偏差は $\sqrt{4000}=63.25$ g である。中心極限定理から

$$P(W>10100)\approx P\Bigl(Z>\frac{100}{63.25}\Bigr)=P(Z>1.581)=1-0.9431=0.0569$$

である。和の標準偏差は1袋の標準偏差の $\sqrt{40}=6.3$ 倍で、40倍ではない。