95%信頼区間の意味とさまざまな信頼区間

統計学の復習　第10章 §10.2　★★★ 確率 $0.95$ は区間を作る手続きの性質で、出来上がった1本の区間についての確率ではない。信頼係数・片側・両側で臨界値の引き方が変わる

確率 0.95 は何についての確率か

例題 10.1 で得た $[48.34,\,52.26]$ について、「この区間が $\mu$ を含む確率は $0.95$ である」と述べるのは誤りである。理由は、式 (10.1) の確率が確率変数 $L,U$ についての確率だからである。標本を取る前には $\bar X$ は確率変数で、区間 $[\bar X-1.96,\ \bar X+1.96]$ は標本ごとに位置を変える。この確率変数の区間が $\mu$ を含む確率が $0.95$ である。標本を取ったあとでは $\bar x=50.3$ は数で、区間も数の区間 $[48.34,52.26]$ に確定する。母平均 $\mu$ も未知ではあるが定数なので、「$48.34\le\mu\le52.26$」は正しいか誤りかのどちらかに決まっていて、確率 $0.95$ で成り立つ事象ではない。

したがって「$95\%$ 信頼区間」の意味は次のように言い表す。同じ手続きで標本を取り直して区間を作ることを何度も繰り返すと、作った区間のうち約 $95\%$ が $\mu$ を含む。$0.95$ は、1本の区間の性質でなく、区間を作る手続きの性質である。母数そのものを確率変数とみて「$\mu$ がこの区間にある確率」を計算する立場は Bayes 統計の考え方で、第3章の Bayes の定理を分布に広げたものになる。この巻では扱わず、数理統計の解説 第10章で扱う。

図 10.1 は、$\mathrm N(50,10^2)$ から大きさ $10$ の標本を20回取り、そのたびに §10.4 の $t$ 分布による $95\%$ 区間を作った結果である。20本のうち19本が $\mu=50$ を含み、1本（18回目）が含まない。区間の位置は標本ごとに変わり、母分散を標本から推定しているので幅も標本ごとに変わる。

図 10.1　$\mathrm N(50,10^2)$ から大きさ $10$ の標本を20回取って作った $\mu$ の $95\%$ 信頼区間（$t$ 分布による区間。乱数の種を固定したシミュレーション）。縦軸は回の番号、点は標本平均。18回目の区間だけが $\mu=50$ を含まない。

信頼係数を変える

信頼係数を $1-\alpha$ にするには、臨界値を $z_{\alpha/2}$ に取り替えるだけでよい。信頼係数を上げると臨界値が大きくなり、区間は広がる。$\mu$ を含む確率を上げることと区間を狭くすることは、同じ $n$ のもとでは両立しない。両方を求めるなら、式 (10.5) のように $n$ を増やす。

片側の信頼限界

「母平均は少なくともいくらか」だけを知りたいときは、片側にだけ限界を持つ区間を作る。$P(Z\le z_\alpha)=1-\alpha$ の不等式を $\mu$ について解くと

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\le z_\alpha\iff\mu\ge\bar X-z_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

なので、

$$P\!\left(\mu\ge\bar X-z_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)=1-\alpha\tag{10.6}$$

である。$\bar X-z_\alpha\sigma/\sqrt n$ を信頼係数 $1-\alpha$ の下側信頼限界と呼ぶ。上側信頼限界 $\bar X+z_\alpha\sigma/\sqrt n$ も同じように作る。片側では捨てる確率 $\alpha$ を片方にまとめて置くので、臨界値は $z_\alpha$ であり、$\alpha$ を2で割らない。

確認テスト

オリジナル

1. 10.2-1 例題 10.1 の区間 $[48.34,\,52.26]$ について、次の (a)〜(c) のうち正しいものを選べ。(a) $\mu$ がこの区間に入る確率は $0.95$ である。(b) 同じ手続きで区間を作ることを繰り返すと、作った区間の約 $95\%$ が $\mu$ を含む。(c) 今後取る標本の標本平均の $95\%$ がこの区間に入る。
2. 10.2-2 独立に50回標本を取り、そのたびに $90\%$ 信頼区間を作る。$\mu$ を含まない区間の本数の期待値と、50本すべてが $\mu$ を含む確率を求めよ。
3. 10.2-3 標準偏差 $2$ が既知の正規母集団から大きさ $25$ の標本を取り、標本平均 $20.4$ を得た。母平均の信頼係数 $99\%$ の上側信頼限界を求めよ（$z_{0.01}=2.326$）。
4. 10.2-4 (i) 上側信頼限界 $U=\bar X+z_\alpha\sigma/\sqrt n$ について $P(\mu\le U)=1-\alpha$ を示せ。(ii) 同じ標本から作った $\mu$ の $95\%$ 区間と $99\%$ 区間について、$95\%$ 区間が $99\%$ 区間に含まれることを示せ。