区間推定の考え方と母分散が既知のときの信頼区間

統計学の復習　第10章 §10.1　★★★ 分布が $\mu$ によらない $Z$ の不等式を $\mu$ について解くと、$\bar x\pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ が出る。必要な標本の大きさはこの半幅から逆算する

この章は、対策本の第18章（母平均の区間推定・母分散既知）と第19章（$t$ 分布と母分散未知の区間推定・母平均の差）に当たる。

第9章では、母平均 $\mu$ を標本平均 $\bar X$ という1つの値で推定し、その精度を標準誤差 $\sigma/\sqrt n$ で表した。しかし連続型の分布では $P(\bar X=\mu)=0$ であり、点推定値がちょうど母平均に一致することは確率 $0$ でしか起こらない。そこで、母平均を含む確率があらかじめ分かっている区間を標本から作る方法を考える。これが区間推定である。

この章で作る道具は3つある。第一に、母分散 $\sigma^2$ が既知の正規母集団で、標準化した $Z=(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$ の分布が $\mu$ によらないことを使って区間を作る方法である（§10.1・§10.2）。第二に、$\sigma$ を不偏分散の平方根 $S$ で置き換えたときに現れる $t$ 分布を定義し、その性質を導くことである（§10.3）。第三に、$t$ 分布を使った母分散未知の区間と、2つの母平均の差の区間である（§10.4・§10.5）。

2級の区間推定の問題での誤りは、$t$ と $z$ の取り違え・$\alpha$ と $\alpha/2$ の取り違え・臨界値の掛け忘れ・$s$ と $s^2$ の読み違えの4つにほぼ分類することができる。この章ではこの4つがなぜ誤りになるかを、分布の性質から1つずつ説明する。1級との関係では、「分布が母数によらない量（ピボット）を作り、その量の不等式を母数について解く」という区間の作り方そのものが、統計数理の大問で信頼区間を問う小問の標準形になる。一般的な構成は数理統計の解説 第8章 §8.2 で扱う。

信頼区間の定義

母数 $\theta$ を含む区間を標本から作るとき、区間の両端は標本 $X_1,\dots,X_n$ の関数、すなわち統計量になる。

式 (10.1) の中で確率変数なのは $L$ と $U$ であり、$\theta$ は未知の定数である。確率は「区間の両端がどこに落ちるか」について計算している。この区別は §10.2 で信頼区間の意味を考えるときに必要になる。

標準化した標本平均の分布は母平均によらない

母集団が正規分布 $\mathrm N(\mu,\sigma^2)$ で、$\sigma^2$ は既知、$\mu$ は未知とする。$X_1,\dots,X_n$ はこの母集団からの無作為標本（独立で同じ分布に従う）とする。第6章の正規分布の再生性と第8章の標本平均の平均・分散の計算から

$$\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\sim\mathrm N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right)\tag{10.2}$$

であり、標準化すると

$$Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim\mathrm N(0,1)\tag{10.3}$$

となる。$\sigma/\sqrt n$ は $\bar X$ の標準偏差で、第9章で標準誤差と呼んだ量である。

式 (10.3) の $Z$ は、未知の $\mu$ を含んでいるので統計量ではない。しかし $Z$ の分布は $\mathrm N(0,1)$ で、$\mu$ がどんな値でも同じである。このように、母数を含むがその分布が母数によらない確率変数をピボット（枢軸量）と呼ぶ。区間推定は、ピボットについての確率の式を、母数についての不等式に書き換える操作である。

不等式を母平均について解く

上側 $100\alpha\%$ 点 $z_\alpha$ を $P(Z>z_\alpha)=\alpha$ で定める。標準正規分布の密度は $0$ について対称なので $P(Z<-z_\alpha)=\alpha$ でもあり、左右に $\alpha/2$ ずつ残すと

$$P\bigl(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$$

となる。括弧の中の不等式を $\mu$ について解く。$c=z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ と置くと

$$-z_{\alpha/2}\le\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\le z_{\alpha/2} \iff -c\le\bar X-\mu\le c \iff \bar X-c\le\mu\le\bar X+c$$

である。1つ目の同値は正の数 $\sigma/\sqrt n$ を両辺に掛けたもの、2つ目は各辺から $\bar X$ を引いて $-1$ を掛け（不等号の向きが逆になる）、左右を入れ替えたものである。同値な事象の確率は等しいので、次の定理が得られる。

よく使う点は $z_{0.05}=1.645$、$z_{0.025}=1.960$、$z_{0.005}=2.576$ で、それぞれ両側 $90\%$・$95\%$・$99\%$ の区間に使う。$95\%$ 区間では両側に $2.5\%$ ずつ残すので、引くのは上側 $2.5\%$ 点 $z_{0.025}$ であり、$z_{0.05}$ ではない。

母集団が正規分布でないときも、$n$ が大きければ第8章の中心極限定理によって $Z$ の分布は $\mathrm N(0,1)$ で近似されるので、式 (10.4) は信頼係数が近似的に $1-\alpha$ の区間になる。

区間の幅と必要な標本の大きさ

式 (10.4) の区間の半幅は $e=z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ で、標本の値によらず決まっている。半幅は $\sigma$ に比例し、$\sqrt n$ に反比例する。半幅を半分にするには $n$ を $4$ 倍にする必要がある。調査の前に「半幅を $e_0$ 以下にしたい」と決めておけば、$z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n\le e_0$ を $n$ について解いて

$$n\ \ge\ \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{e_0}\right)^2\tag{10.5}$$

が条件になる。$n$ は整数なので、右辺を切り上げた整数が必要な最小の大きさである。四捨五入して小さい方へ丸めると条件を満たさなくなる。

確認テスト

オリジナル

1. 10.1-1 正規母集団 $\mathrm N(\mu,\sigma^2)$（$\sigma^2$ 既知）からの大きさ $n$ の標本について、$\mu$ の $90\%$ 信頼区間を式で書け（$z_{0.05}=1.645$）。
2. 10.1-2 標準偏差 $12$ が既知の正規母集団から大きさ $16$ の標本を取ったところ、標本平均は $73.5$ であった。母平均の $95\%$ 信頼区間を求めよ。
3. 10.1-3 標準偏差 $15$ が既知の正規母集団で、母平均の $99\%$ 信頼区間の半幅を $2$ 以下にしたい。必要な標本の大きさの最小値を求めよ（$z_{0.005}=2.576$）。
4. 10.1-4 $a,b>0$ が $\Phi(b)-\Phi(-a)=1-\alpha$ を満たすとき、$[\bar X-a\sigma/\sqrt n,\ \bar X+b\sigma/\sqrt n]$ も信頼係数 $1-\alpha$ の区間である（$\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数）。このような区間のうち幅 $(a+b)\sigma/\sqrt n$ が最小になるのは $a=b=z_{\alpha/2}$ のときであることを、$b$ を $a$ の関数とみて微分することで示せ。